4.2 指数函数及其性质 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数函数及性质 要点一、指数函数的概念： 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如y=ax(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像 ， ， 等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数a大于零且不等于1： ①如果 ，则 ②如果 ，则对于一些函数，如 ，当 时，在函数值不存在． ③如果 ，则 是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=ax 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 性质 ①定义域R，值域（0，+∞） ②a0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，ax>1 x>0时，0<ax<1 ⑤x<0时，0<ax<1 x>0时，ax>1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释： （1）指数函数 与 的图象关于 轴对称． 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（令 比较） 4.（1）指数函数的底数满足： ， 的图像如图所示： （2）特殊函数 的图像： 【典型例题】 类型一、函数的定义域、值域 例1．求下列函数的定义域、值域. (1) ； (2)y=4x-2x+1； (3) ； (4) (a为大于1的常数) 【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x R，3x≠-1). ∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R， ，∵ 2x>0， ∴ 即 x=-1时，y取最小值 ，同时y可以取一切大于 的实数，∴ 值域为[ ). (3)要使函数有意义可得到不等式 ，即 ，又函数 是增函数， 所以 ，即 ，即 ，值域是 . (4)∵ ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵ ，∴ ，∴值域为[1，a)∪(a，+∞) 举一反三： 【变式1】求下列函数的定义域： (1) (2) (3) (4) 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足3-x≥0，即 ，即 ． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x-1≥0，即2x≥1，故x≥0，即 (4) 为使得原函数有意义，需满足 ，即 ，所以a>1时， ；0<a<1时， . 类型二、指数函数的单调性及其应用 例2．讨论函数 的单调性，并求其值域． 【解析】∵函数 的定义域为R，令u=x2－2x，则 ． ∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数， 在其定义域内是减函数， ∴函数 在（－∞，1]内为增函数． 又 在其定义域内为减函数，而u=x2―2x=(x―1)2―1在[1，+∞）上是增函数， ∴函数 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法：∵x2―2x=(x―1)2―1≥－1， ， ． ∴函数 的值域为（0，3]． 举一反三： 【变式1】求函数 的单调区间及值域. 【解析】设u=-x2+3x-2， y=3u，其中y=3u为R上的单调增函数， u=-x2+3x-2在 上单增，u=-x2+3x-2在 上单减， 则 在 上单增，在 上单减. 又u=-x2+3x-2 ， 的值域为 . 例3．讨论函数 的单调性． 【解析】令 ，则y=t2―2t+2．由 在R上递减， 又y=t2―2t+2在（―∞，1]上递减，在[1，+∞）上递增， 而当 ，则x≥0；当 ，则x≤0． ∴函数 在（－∞，0]上递减，在[0，+∞）上递增． 举一反三： 【变式1】 求函数 (x [-3，2])的单调区间，并求出它的值域. 【解析】令 ， 则 ， 单调区间：(1) 即 即x [1，2]时， 是单调减函数， 是单调减函数，故 是单调增函数. (2) 即 即x [-3，1]时， 是单调减函数， 是单调增函数，故 是单调减函数， ∴ 函数的单调增区间是[1，2]，单调减区间是[-3，1]. 值域：∵ x [-3，2]， ∴ ， ∴ ， ∴ 值域为[ ，57]， 例4．(1)1.8a与1.8a+1 (2) (3)22.5，(2.5)0， (4) 【解析】(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x为单调增函数，又因为a<a+1，所以1.8a<1.8a+1. (2)因为 ，又 是减函数，所以 ，即 ． (3)因为 ， ，所以 (4)当a>1时， ，当0<a<1时， ． 举一反三： 【变式1】比较大小： ， ， ； 【解析】（1）解： = ， 作出 的图象知： 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMB