4.1 指数与指数幂的运算-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

指数与指数幂的运算 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 要点二、根式的概念和运算法则 1．n次方根的定义： 若xn=y(n∈N*，n>1，y∈R)，则x称为y的n次方根. n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为 ；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为 ；零的奇次方根为零，记为 ； n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为 ；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为 . 2．两个等式 （1）当 且 时， ； （2） 要点诠释： ①要注意上述等式在形式上的联系与区别； ②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成 的形式，这样能避免出现错误． 要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n，m N*，且 为既约分数，分数指数幂可如下定义： （1） （2） （3） 要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质 (1) (2) (3) 当a>0，p为无理数时，ap是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释： (1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算； (2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如 ； (3)幂指数不能随便约分.如 . 2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a2－b2＝（a－b）（a＋b），（a±b）2＝a2±2ab＋b2，（a±b）3＝a3±3a2b＋3ab2±b3，a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2），a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）的运用，能够简化运算. 【典型例题】 类型一、根式 例1.计算：（1） ； （2） . 【解析】（1） = + - = =| |+| |-| | = + -（ ） =2 （2） = = = 举一反三： 【变式1】化简：（1） ； 【答案】（1） ； （2） 【答案】（2） 类型二、指数运算、化简、求值 例2.用分数指数幂形式表示下列各式（式中 ）： （1） ；（2） ；（3） ；（4） 。 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2） ； （3） ； （4） = = = = = 举一反三： 【变式1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简 （1） ； （2） 【答案】（1） ； （2） 【变式2】把下列根式化成分数指数幂： （1） ； （2） ； （3） ； （4） 【解析】（1） = ； （2） ； （3） ； （4） = = 例3.计算： (1) ； (2) (3) 。 【解析】(1)原式= ； (2)原式= ； (3)原式=-5+6+4- -(3- )=2； 举一反三： 【变式1】计算下列各式： (1) ；　　(2) . 【解析】(1)原式= EMBED Equation.3 ； (2)原式 EMBED Equation.3 . 例4.化简 【解析】原式 EMBED Equation.DSMT4 . 举一反三： 【变式1】化简下列各式. （1） ； （2） ； （3） . 【解析】（1）原式 ； （2） （3） EMBED Equation.DSMT4 例5．已知 ，求 的值. 【解析】 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.3 = = 举一反三： 【变式1】已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值. 【解析】(1)8x+8-x=23x+2-3x=(2x)3+(2-x)3 【变式2】已知 ，求 及 的值． 【解析】∵ ，∴ x＞0， 则 ， 则 ， ∵ ， 则 ， ∴ ， ∴ ． 例6．（1）已知 ，求 的值． （2）化简 【解析】（1） ， ． （2） $$指数与指数幂的运算 【要点梳理】 要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念 2．运算法则 （1） ；