3.3-3.4 幂函数及其应用-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

幂函数及图象变换 【要点梳理】 要点一、幂函数概念 形如的函数，叫做幂函数，其中 为常数. 要点诠释： 幂函数必须是形如的函数，幂函数底数为单一的自变量x，系数为1，指数为常数.例如： 等都不是幂函数. 要点二、幂函数的图象及性质 1.作出下列函数的图象： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ． 要点诠释： 幂函数随着 的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： (1)所有的幂函数在(0，+∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)； (2) 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数．特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸； (3) 时，幂函数的图象在区间 上是减函数．在第一象限内，当 从右边趋向原点时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴正半轴． 2.作幂函数图象的步骤如下: (1)先作出第一象限内的图象； (2)若幂函数的定义域为(0，+∞)或[0，+∞)，作图已完成； 若在(-∞，0)或(-∞，0]上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象； 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象. 3.幂函数解析式的确定 (1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． (2)结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． (3)如函数 是幂函数，求 的表达式，就应由定义知必有 ，即 ． 4.幂函数值大小的比较 (1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法． (2)比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小． 要点三、初等函数图象变换 基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数．（三角函数、反三角函数待讲） 由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如： 的图象变换， EMBED Equation.DSMT4 （1）平移变换 y=f(x)→y=f(x＋a) 图象左（ ）、右（ ）平移 y=f(x)→y=f(x)＋b 图象上（ ）、下（ ）平移 （2）对称变换 y=f(x) →y=f(－x), 图象关于y轴对称 y=f(x) →y=－f(x) , 图象关于x轴对称 y=f(x) →y=－f(－x) 图象关于原点对称 y=f(x)→ 图象关于直线y=x对称 （3）翻折变换： y=f(x) →y=f(|x|),把y轴右边的图象保留，然后将y轴左边部分 关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数） y=f(x) →y=|f(x)| 把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象 关于x轴对称 要点诠释： （1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来。 （2）若f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 【典型例题】 类型一、求函数解析式 例1.已知幂函数 （k∈N*）的图象关于y轴对称，且在区间（0，+∞）上是减函数，求函数f（x）的解析式． 【解析】幂函数 （k∈N*）的图象关于y轴对称， 所以， ，解得－1＜k＜3， 因为k∈N*，所以k=1，2；且幂函数 （k∈N*）在区间（0，+∞）为减函数， ∴k=1， 函数的解析式为： ． 举一反三： 【变式1】已知幂函数 的图象过点 ，则 = ． 【解析】设 ，则由图象过点 ，可得 ， 即 ，所以 ，即 ． 类型二、幂函数的图象 例2.给定一组函数的解析式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ，如右图的一组函数图象．请把图象对应的解析式序号填在图象下面的括号内． 【答案】⑥④③②⑦①⑤ 举一反三： 【变式1】幂函数 在第一象限内的图象如图所示， 已知 分别取-1， 四个值，则相应图象依次为： ． 【答案】 【变式2】 已知幂函数 的图象如图所示，则（ ） A. 均为奇数，且 B. 为偶数， 为奇数，且 C. 为奇数， 为偶数，且 D. 为奇数， 为偶数，且 【答案】D．由函数图象关于 轴对称知，函数为偶函数，故 为偶数， 为奇数． 由函数图象在第一象限为减函数知 ． 类型三、幂函数的性质 例3.比较下列各组数的大小. (1) 与 (2) 与 （3） 和 【解析】(1) 由于幂函数 ( )单调递减且 ，∴ . (2)由于 这个幂函数是奇函数. (x>0)单调递减，且 ， ∴ .即 . （3）