3.2.4 抽象函数单调性及奇偶性 -【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

抽象函数的单调性 一类：一次函数型 函数满足： 或 1.函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 1.解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x)， 设x1､x2∈(-∞,+∞)且x1>x2，则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2，∴x1-x2>0. 又∵x>0时，f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(x2)<0. 由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数， ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大，f(3)最小，f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2，最小值为-2. 2.已知函数 对任意实数 恒有 ，且当x＞0， (1)判断 的奇偶性； (2)求 在区间[－3,3]上的最大值； 2.解（1）取 则 取 对任意 恒成立 ∴ 为奇函数. （2）任取 ， 则 又 为奇函数 ∴ 在（－∞，+∞）上是减函数. 对任意 ，恒有 而 ∴ 在[－3，3]上的最大值为6 3.已知函数 的定义域为 ，且对任意 ，都有 ，且当 时， 恒成立，证明：（1）函数 是 上的减函数；（2）函数 是奇函数。 3.证明：(1)设 ，则 ，而 ∴ ∴函数 是 上的减函数; (2)由 得 即 ，而 ∴ ，即函数 是奇函数。 4.已知函数 的定义域为R，对任意实数 都有 ，且 ， 当 时, >0. (1)求 ； (2) 判断函数 的单调性，并证明. 4.（1）解：令 ，则 EMBED Equation.DSMT4 （2）任取 ,则 = ∴ ∴函数 是R上的单调增函数. 二类：对数函数型 函数满足： 或 1.函数 对于x>0有意义，且满足条件 减函数。 （1）证明： ； （2）若 成立，求x的取值范围。 1.(1)证明：令 ，则 ，故 （2）∵ ，令 ，则 ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，函数 对于x>0有意义， 是减函数； ， ∴ 成立的x的取值范围是 。 2.定义在 上的函数 满足对任意 恒有 ，且 不恒为0。 （1）.求 和 的值； （2）.试判断 的奇偶性，并加以证明； （3）.若 时 为增函数，求满足不等式 的 的取值范围. 2.（1）. 令 ，得 ， ， 令 ,得 ，∴ . （2）.令 ，由 ，得 ， 又 ， ，又 不恒为0，∴ 为偶函数。 （3）.由 ，知 ，又由（2）知 ， ，又∵ 在 上为增函数， ， ， ，故 的取值集合为 . 3.已知 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的 都满足: . (1)求 的值； (2)判断 的奇偶性，并证明你的结论; 3.（1）解：令 ，则 令 ，则 （2）证明：令 ，则 ，∵ ，∴ 令 ，则 ∴ 是奇函数。 4.定义在 ，上的函数 ，满足 EMBED Equation.KSEE3 ，且当 时， . （1）.求 的值； （2）.求证: ； （3）.求证: 在 上是增函数； （4）.若 ，解不等式 . 4.（1）.令 ,由条件得 。 （2）. ，即 . （3）.任取 ，且 ，则 ，由（2）得 ， 即 ，∴ 在 上是增函数。 （4）.由于 ， ， ， ， 又 在 上是增函数，∴ ，解得 ， 故不等式 的解集为 . 三类：指数函数型 函数满足： 或 1.已知函数 的定义域为R，对任意实数 都有 ， 且当 时， . (1)证明: ； (2)证明: 在R上单调递减. 1.解： (1)证明:令 ，则 ∵当 时, ，故 ，∴ ，∵当 时, ∴当 时, ,则 (2)证明: 任取 ,则 EMBED Equation.DSMT4 ∵ ,∴ ,故 <0,又∵ ∴ ,故 ∴函数 是R上的单调减函数. 2.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， 求证：f(0)=1； 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；