3.2.3 函数周期性与对称性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数周期性与对称性 考点一：函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时， 都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). (4).若，则T＝4a(a>0). 证明： ， ∴. 考点二：函数的对称性 （1）若，则关于对称 （2）若，则关于对称 （3）若，则关于对称 （4）.函数的图像和函数的图像关于（y轴）对称. （5）.函数的图像和函数的图像关于对称. （6）.函数的图像和函数的图像关于对称. 4. 两线对称型：函数关于直线、对称，则的周期为。 证明：。 5. 一线一点对称型 ： 函数关于直线及点对称，则的周期为。 证明：， 所以 6. 两点对称型： 函数关于点、对称，则的周期为。 证明：。 注意：设，任意都有，且有个实根， 则所有实根之和为. 1.若函数是定义在上周期为的奇函数，则. 证明： 由函数的周期为可得：， 因为函数为奇函数， ，， 2.设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 . 3.设函数在定义域上总有，且当时，. 则当时，求函数的解析式； 4.设函数是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有， 当 时，. （1）.求证：函数恒有成立； （2）.当时，求的解析式 （3）.计算 . 5. 设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，函数，则时， . 6.在上定义的函数是偶函数，且， 若在区间上是减函数，则（ ） A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数 B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数 D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数 7. 已知定义在上的奇函数满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数满足，且当时，， 则的值等于（ ） A. B. C. D. 9. 设为上的奇函数，且，若， ，则的取值范围是 . 10. 函数对于任意实数满足条件，若，则等于（ ） A. B. C. D. 11． 函数满足是偶函数，又，为奇函数，则 . 12．已知定义在R上的奇函数满足， 当时，，则=_____. 13. 已知定义在上的函数满足下列三个条件： ① 对于任意的，都有； ② 对于任意的，都有； ③ 函数的图象关于轴对称。 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 14．定义在上的偶函数满足，且在 上是增函数，下面是关于的判断： ①是周期函数； ②的图象关于直线对称； ③在上是增函数； ④ 其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）。 15．定义在上的函数，对任意都有，当 时，，则________. 16．已知是以2为周期的函数，且当时，，则 . 17．定义在上的函数满足， 且当时，，则______. 18．设函数是周期为5的奇函数，当时，，则= . 19．已知是定义在上的奇函数，且， 当时，，则 . 20．设函数f(x)＝|x＋2|＋|x－a|的图像关于直线x＝2对称，则a的值为 . $$函数周期性与对称性 考点一：函数的周期性 1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时， 都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 2.最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期. 3.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). (4).若，则T＝4a(a>0).