3.2.2 奇偶性-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数的奇偶性 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？ ----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为： ， f(-x)=-f(x)的等价形式为： ； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 轴对称，则这个函数是偶函数. （3）注意到偶函数 的性质： ，可避免讨论． 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数 的定义域，化简函数 的解析式； （3）求 ，可根据 与 之间的关系，判断函数 的奇偶性. 若 =- ，则 是奇函数；若 = ，则 是偶函数； 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等. （2）验证法：在判断 与 的关系时，只需验证 EMBED Equation.DSMT4 =0及 是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 【典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； 【解析】(1)∵f(x)的定义域为 ，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (4) ； (5) ； (6) (4) EMBED Equation.DSMT4 ，∴f(x)为奇函数； (5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6) ，∴f(x)为奇函数. 举一反三： 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】(1) 的定义域是 ，又 ， 是奇函数． （2） 的定义域是 ，又 ，∴是偶函数 （3） ， ，∴为非奇非偶函数 （4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 例2.已知函数 ，若对任意实数 都有 ，判断 的奇偶性. 【解析】设 则 ， EMBED Equation.DSMT4 . 又设 ，则 ， ， 是奇函数. 举一反三： 【变式1】定义在（－∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），总有f（mn）=f（m）f（n）， 且f（x）＞0，当x＞1时，f（x）＞1． （1）求f（1），f（－1）的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明； （3）判断函数在（0，+∞）上的