3.1函数定义域、值域和解析式求法小专题-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

函数定义域、值域和解析式求法小专题 考点一：函数定义域的求法 复合函数求定义域的题型： 注意1：不管括号中的形式多复杂，定义域只是自变量的取值集合。 注意2：在同一函数作用下，括号内整体的取值范围相同。 题型1：已知的定义域，求的定义域； 例1：已知的定义域是，求的定义域。 1.解：是由，复合而成，，即， 题型2：已知的定义域，求的定义域； 例2：已知的定义域是，求的定义域。 2.解：是由，复合而成，，，即。 题型3：已知的定义域，求的定义域； 例3：已知的定义域是，求的定义域。 3.解：是由，复合而成， ，即，即， 是由，复合而成，，即，即。 巩固练习： 1.（1）已知函数f(x)的定义域为[1，4]，则f (x＋2)的定义域为______________。 （2）已知函数f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，则f(x)的定义域为____________。 1：【解析】（1）∵1≤x＋2≤4，∴－1≤x≤2 （2）∵－1＜x＜0，∴－2＜2x＜0，∴－1＜2x＋1＜1 2.（1）已知函数f(x)的定义域为[－5，5]，则f (3－2x)的定义域为_______。 （2）已知函数f(x＋1)的定义域为[0，3]，则f(x2)的定义域为_______。 2.（1）[－1，4]，（2）0≤x≤3，1≤x＋1≤4，1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2 3.若函数f(x)＝的定义域为R，则实数的取值范围是__________。 3.【解析】：≥1 考点二：确定函数解析式的方法 1.构造法：已知f [g(x)]的解析式，要求f(x)的解析式，从f[g(x)]的解析式中拼凑出“g(x)”，两边用“x”代替“g(x)”即可得到f(x)的解析式。 1.若f()＝，求f(2) 1.【解析】∵ f () ＝＝ ∴ f (x) ＝∴ f(2) ＝＝ 2.（1）已知f (x＋)＝x2＋ ，求f (x) （2）已知f (＋1)＝x＋2，求f (x) 2.【解析】：（1）f(x)＝x2－2 （2）f (x) ＝x2－1 2.换元法：已知函数f [g(x)]的解析式，令g(x)＝t，求f(t)的解析式，用x代替两边所有的t，即可。 3.已知函数f (2x＋1) ＝x2－2x，求f (1) 3.【解析】令2x＋1＝t，则 x ＝ ∴ f (t )＝()2－2×＝ ∴ f (x)＝ ∴ f (1) ＝＝0 4.已知f (＋1)＝x＋2，求f (x) 4.【解析】：f (x) ＝x2－1 3.方程组法：已知f(x)与f[g(x)]满足的关系式，要求f(x)时，用g(x)代替两边所有的x， 得到关于f(x)，f[g(x)]的方程组，解方程组得f(x)。 5.已知函数f (x)满足，f(x)－2 f ()＝3x＋2，求f (x)的解析式。 5.【解析】：用代替x得：f ()－2 f (x)＝3×＋2 ∴ 解之得：f (x)＝－x－－2 6.已知函数f(x)满足：f (x)＋2 f (－x)＝x2＋x，求函数f(x)的解析式。 6.【解析】：f(x) ＝ 4.待定系数法： （1）、初中所学一次函数、反比例函数、二次函数解析式的求法。 一次函数：f(x)＝kx＋b (k≠0) ； 反比例函数：f (x)＝(k≠0)， 二次函数： （2）若已知f(x)函数的类型，求f(x)的解析式，可根据类型设其解析式，然后确定其系数即可。 7.已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝4x＋3，求f (x)的解析式。 7.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0) ∴ f[f(x)] ＝f (kx＋b)＝ k(kx＋b)＋b ＝k2x＋kb＋b ＝4x＋3 ∴ 解之得或 ∴ f (x)＝2x＋1 或 f (x)＝－2x－3 8.已知函数f(x)是一次函数，且2 f (1)＋3 f (2)＝3，2 f (－1)－3 f (0)＝－1，求f (x)的解析式。 8.【解析】设：f(x)＝kx＋b (k≠0)，由题意得 解之得： ∴f (x)＝x－1 9.（1）已知一次函数f(x)满足f[f(x)]＝9x＋8，求f (x)的解析式。 （2）已知一次函数f(x)满足：3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f (x)的解析式。 9.【解析】（1）f (x)＝3x＋2 或 f (x)＝－3x－4 （2）f (x)＝2x＋7 考点三：几种值域的求法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 例1．求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1x1) ② ③ ④ 解：①∵-1x1，∴-33x3，∴-13x+25，即-1y5，∴值域是[-1，5] ②∵ ∴，即函数的值域是 { y| y