2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

二次函数与一元二次方程、不等式 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.如： . 一元二次不等式的一般形式： EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 . 设一元二次方程 的两根为 且 ，则不等式 的解集为 ，不等式 的解集为 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程 的两根为 且 ，设 ，它的解按照 ， ， 可分三种情况，相应地，二次函数 EMBED Equation.DSMT4 的图像与 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式 EMBED Equation.DSMT4 或 EMBED Equation.DSMT4 的解集. 二次函数 （ ）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 要点诠释： （1）一元二次方程 的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线 EMBED Equation.3 与 轴的交点的横坐标； 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程 EMBED Equation.DSMT4 ，计算判别式 ： ① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 时，求根 ； ③ 时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 【典型例题】 类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式 （1） ； （2） ； （3） 【解析】（1）不等式 的解集是 . （2）原不等式的解集是 （3）原不等式整理得 . 因为 ，方程 无实数解， 所以原不等式的解集是 . 举一反三： 【变式1】解不等式： 【答案】原不等式可化为不等式组 ，即 ，即 ， 解得 ∴原不等式的解集为 . 类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法 例2．已知2a+1<0，关于x的不等式 的解集是（ ） A.{x|x>5a或x<-a} B.{x|-a<x<5a} C. {x|x<5a或x>-a} D.{x|5a<x<-a} 【答案】选C. 不等式 可化为：(x-5a)(x+a)>0; ∵方程(x-5a)(x+a)的两根为： 且2a+1<0，∴a<- ， ∴ 5a<-a ∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>-a}。 【变式1】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集． 【答案】当a＞0时，不等式的解集为 ； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}； 当a＜0时，不等式的解集为 . 【变式2】已知集合A={x｜x2―2ax―8a2≤0}。 （1）当a=1时，求集合 ； （2）若a＞0，且 ，求实数a的取值范围。 【答案】（1）当a=1时，x2―2ax―8a2≤0化为x2―2x―8≤0， 解得：－2≤x≤4 ； ∴A={x｜－2≤x≤4}。 ； （2）由x2―2ax―8a2≤0，且a＞0，得－2a≤x≤4a。 ∴A={x｜－2a≤x≤4a}。 由 ，得： ，解得 。 ∴实数a的取值范围是 。 【变式3】解关于x的不等式：ax2-x+1>0 【解析】若a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x<1}； 若a≠0，原不等式为关于x的一元二次不等式. 方程 的判别式△=1-4a (Ⅰ)当△=1-4a<0，即 时，方程 没有实数根， 故函数 的图象开口向上，与x轴没有交点，其简图如下： 所以，此时不等式 的解集为实数集R； (Ⅱ)当△=1-4a=0，即 时，方程 有两个相等实数根x=2， 故函数 的图象开口向上，与x轴有唯一交点(2，0)，其简图如下： 所以，此时不等式 的解集为 ； (Ⅲ)当△=1-4a>0，即 时，方程 有两个不等实数根 ， ， ①当 时，函数 的图象开口向上， 与x轴有两个不同的交点，且 ，其简图如下： 所以，此时不等式 的解集为 ； ②当a<0时，函数 的图象开口向下， 与x轴有两个不同的交点，且 ，其简图如下： 所以，此时不等式 的解集为 ； 综上所述： a<0时，原不等式解集为 ； a=0时，原不等式解集为 ； 时，原不等式解集为 ； 时，原不等式解集为 ； 时，原不等式解集为实数集R. 例3．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式 －x+1＜0 x＞1； 若a＜0，原不等式 EMBED Equation.DSMT4 EMBED E