2.2 基本不等式-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

基本不等式 要点一：基本不等式 1.对公式 及 的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”. 2.由公式 和 可以引申出常用的常用结论 ① （ 同号）； ② （ 异号）； ③ 或 要点诠释： 可以变形为： ， 可以变形为： . 要点二：基本不等式 的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形 中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 、 ，那么正方形的边长为 . 这样，4个直角三角形的面积的和是 ，正方形 的面积为 .由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以： .当直角三角形变为等腰直角三角形，即 时，正方形 缩为一个点，这时有 . 得到结论：如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”） 特别的，如果 ， ,我们用 、 分别代替 、 ，可得： 如果 ， ,则 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 通常我们把上式写作：如果 ， , ，（当且仅当 时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵ ， 当 时， ； 当 时， . 所以 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 要点诠释： 特别的，如果 ， ,我们用 、 分别代替 、 ，可得： 如果 ， ,则 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果 ， , ，（当且仅当 时取等号“=”）. 要点三：基本不等式 的几何意义 如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， , ，过点 作 交圆于点D，连接 、 . 易证 ，那么 ，即 . 这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心重合，即 时，等号成立. 要点诠释： 1.在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四：用基本不等式 求最大（小）值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释： 1．两个不等式： 与 成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如 是成立的，而 不成立. 【典型例题】 类型一：对公式 及 的理解 例1. ， ，给出下列推导，其中正确的有 . （1） 的最小值为 ；（2） 的最小值为 ；（3） 的最小值为 . 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）∵ ， ，∴ （当且仅当 时取等）. （2）∵ ， ，∴ （当且仅当 时取等号）. （3）∵ ，∴ ， （当且仅当 即 时取等号） ∵ ，与 矛盾，∴上式不能取等号，即 举一反三： 【变式1】下列结论正确的是(　　) A．当x>1时， 的最小值为2 B．当x>0时， C．当x≥2时， 的最小值为2 D．当0<x≤2时， 无最大值 【答案】　B 【变式2】已知函数 ，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ） A．当 时，f（x）的最小值为 B．当 时，f（x）的最小值为 C．当 时，f（x）的最小值为 D．对任意的b＞0，f（x）的最小值均为 【答案】∵ ，∴当 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号；当 ，y=f（x）在（0，b）上单调递减， ∴ ，故f（x）不存在最小值；故选A。 类型二：利用基本不等式证明不等式 例2. 已知 、 、 都是正数，求证： 【解析】∵ 、 、 都是正数，∴ （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号） ∴ （当且仅当 时，取等号） 即 . 例3.已知 ，求证: 【解析】 （当且仅当 即 ,等号成立）. 举一反三： 【变式1】已知 、 都是正数，求证： . 【答案】∵ 、 都是正数 ，∴ ， ， ∴ （当且仅当 即 时,等号成立） 故 . 【变式2】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证： . 【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴ ， ， . ∴ . 类型三：利用基本不等式求最值 例4. 求函数 ( )的最小值. 【解析】∵ ，∴ ∴ （当且仅当 即 时，取等号） 故当 时，函数 ( )的最小值为32. 举一反三： 【变式1】已知 ，当 取什么值时，函数 的值最小？最小值是多少？ 【答案】∵ ，∴ ，∴ （当且仅当 即 时，取等号） 故当 时， 的值最小为18. 【变式2】已知 ，求 的最大值. 【答案】∵ ，∴ ， ∴ （当且仅当 ，即 时，