2.1 等式性质与不等式性质-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

不等关系与不等式 要点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意 ，则 （ 为正数）、 或 （ 为负数）三种情况有且只有一种成立. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变： 符号语言： ； ②两个同号实数相乘，积是正数： 符号语言： ； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言： ， . 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数 、 ① ； ② ； ③ . 对于任意实数 、 , , , 三种关系有且只有一种成立. 要点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： 　　(1) 对称性： 　　(2) 传递性： 　　(3) 可加性： (c∈R) 　　(4) 可乘性：a>b， 　　运算性质有： (1) 可加法则： (2) 可乘法则： (3) 可乘方性： (4) 可开方性： 要点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式 、 ，可以作差 后比较 与0的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 作商法： 任意两个值为正的代数式 、 ，可以作商 后比较 与1的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 中间量法： 若 且 ，则 （实质是不等式的传递性）.一般选择0或1为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于0； 最后下结论. 【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系 例1.某人有楼房一幢，室内面积共 ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积为 ， 可住游客5人，每名游客每天住宿费40元；小房间每间面积为 ，可住游客3人，每名游客每天住宿费50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需要600元，如果他只能筹款8000元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】假设装修大、小客房分别为 间， 间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过8000元 （2） 总面积不超过 ； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： 即 此即为所求满足题意的不等式组 举一反三： 【变式】某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种.按照生产的要求，600mm的数量不能超过500mm钢管的3倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 【答案】假设截得500 mm的钢管 x根，截得600mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过4000mm ; （2）截得600mm钢管的数量不能超过500mm钢管数量的3倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 类型二：不等式性质的应用 例2．已知 ，求 ， 的取值范围． 【解析】　因为 ，所以 ， . 两式相加，得 . 因为 ，所以 ，则 . 又α＜β，所以 ，则 . 举一反三： 【变式1】【变式】已知 ，求（1） (2) 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） 【变式2】已知实数x，y满足 ，则4x+2y的取值范围是________。 【答案】方法一：∵1≤x+y≤3 ① ； －1≤x－y≤1， ② 由①+②，得到0≤2x≤4 ④ ； ④×2得到0≤4x≤8 ⑤ 由①－②，得到2≤2y≤2 ⑥；最后⑤+⑥得到2≤4x+2y≤10 故答案为：[2，10] 方法二：令4x+2y=m（x+y）+n（x－y） 则 解得 ；即4x+2y=3（x+y）+（x－y） ∵1≤x+y≤3 ； ∴3≤3（x+y）≤9 ① 又∵－1≤x－y≤1， ② ∴2≤3（x+y）+（x－y）≤10 故答案为：[2，10] 例3．若a>b>0,c<d<0,则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】选D。 举一反三： 【变式1】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc； (2) ； (3)a－c＞b－d； (4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 例4．船在流水中航行，在甲地与乙地间来回行驶一次的平均速度和船在静水中的速度是否相等，为什么？ 　　【解析】设甲地与乙地的距离为S，船在静水中的速度为u, 水流速度为v(u>v>0)， 则船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的时间