1.4 充分条件与必要条件-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义（学生版+教师版）

充分条件与必要条件 【要点梳理】 要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念 符号 与 的含义 “若 ，则 ”为真命题，记作： ； “若 ，则 ”为假命题，记作： . 充分条件、必要条件与充要条件 ①若 ，称 是 的充分条件， 是 的必要条件. ②若既有 ，又有 ，就记作 ，这时 是 的充分必要条件，称 是 的充要条件. 要点诠释：对 的理解：指当 成立时， 一定成立，即由 通过推理可以得到 . ①“若 ，则 ”为真命题； ② 是 的充分条件； ③ 是 的必要条件 以上三种形式均为“ ”这一逻辑关系的表达. 要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若 ，则 ”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若 ，但 ，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件； ②若 ，但 ，则 是 的必要不充分条件， 是 的充分不必要条件； ③若 ，且 ，即 ，则 、 互为充要条件； ④若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件. 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若A B，则 是 的充分条件， 是 的必要条件； ②若A是B的 真子集，则 是 的充分不必要条件； ③若A=B，则 、 互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则 是 的既不充分也不必要条件. 要点三、充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 要点诠释：对于命题“若 ，则 ” ①如果 是 的充分条件，则原命题“若 ，则 ”与其逆否命题“若 ，则 ”为真命题； ②如果 是 的必要条件，则其逆命题“若 ，则 ”与其否命题“若 ，则 ”为真命题； ③如果 是 的充要条件，则四种命题均为真命题. 【典型例题】 类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定 例1. “x<－1”是“x2－1>0”的________条件． 【解析】 ，故 ，但 ， ∴“x<－1”是“x2－1>0”的充分而不必要条件． 举一反三： 【变式1】指出下列各题中， 是 的什么条件？ (1) : ， : ； (2) : ， : 抛物线 过原点 (3) : 一个四边形是矩形， : 四边形的邻边相等 【答案】(1)∵ : 或 , : ∴ 且 ,∴ 是 的必要不充分条件； (2)∵ 且 ,∴ 是 的充要条件； (3)∵ 且 ，∴ 是 的既不充分条件也不必要条件. 【变式2】判断下列各题中 是 的什么条件. （1） : 且 , : （2） : , : . 【答案】（1） 是 的充分不必要条件. ∵ 且 时， 成立；反之，当 时，只要求 、 同号即可.∴必要性不成立. （2） 是 的既不充分也不必要条件 ∵ 在 的条件下才有 成立.∴充分性不成立，同理必要性也不成立. 【变式3】设甲，乙，丙是三个命题，如果甲是乙的充要条件，丙是乙的充分非必要条件， 那么丙是甲的（ ）. A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】A；【解析】由已知有甲 乙，丙 乙且乙 丙. 于是有丙 乙 甲，且甲 丙（否则若甲 丙，而乙 甲 丙，与乙 丙矛盾） 故丙 甲且甲 丙，所以丙是甲的充分非必要条件. 例2. （2015 天津）设 ，则“ ”是“ ”的（ ） （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】 的解集为（1，3）， 的解集为 ， 故 是 的充分不必要条件。 举一反三： 【变式1】已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，则p是q的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】选（A）；q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3. 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，从图中看P(Q， p q，但q p. 【变式2】下列叙述中正确的是(　　) A．若a，b，c∈R，则“ax2＋bx＋c≥0”的充分条件是“b2－4ac≤0” B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c” C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0” D．l是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l⊥α，l⊥β，则α∥β 【答案】(1)对于选项A，“b2－4ac≤0”是“ax2＋bx＋c≥0”必要不充分条件．故选项A不正确． (2)对于选项B，“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故选项B不正确． (3)对于选项C