2.3 直线的交点坐标与距离公式-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 2.3直线的交点坐标与距离公式（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单项选择题（本题共6小题，每小题满分5分） 1．若 与 的图形有两个交点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 或 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，可知 表示关于 轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在 轴上的截距为 的直线，画出图形，分析判断即可求出 的取值范围. 【详解】 解： 表示关于 轴对称的两条射线， 表示斜率为1，在 轴上的截距为 的直线， 根据题意，画出大致图形，如下图， 若 与 的图形有两个交点，且 ，则根据图形可知 ． 故选：A． 【点睛】 本题考查由两直线的交点个数从而求参数范围，考查直线的斜率和截距，以及直线的方程和图象，考查数形结合思想. 2．在平面直角坐标系中，记 为点 到直线 的距离，当 ， 变化时， 的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】 【分析】 由点到直线的距离表示出 ，利用辅助角公式和绝对值的三角不等式化简得 ，即可求出 的最大值. 【详解】 由题意，点 到直线 的距离为 ， 则 ， 其中， ， 所以当且仅当 ， 时， 取得最大值， 即 . 故选：C 【点睛】 本题主要考查点到直线的距离公式、三角函数性质、辅助角公式和绝对值的三角不等式的应用，考查学生的转化和计算能力，属于中档题. 3．已知 与 是直线 ( 为常数)上两个不同的点，则关于 和 的方程组 的解的情况是（ ） A．无论 如何,总是无解 B．无论 如何,总有唯一解 C．存在 使之恰有两解 D．存在 使之有无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】 判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】 由题意，点 与 是直线 ( 为常数)上两个不同的点， 直线 的斜率存在，所以 ，即 ， 且 ，所以 ， 由方程组 ， 可得： ，即 ， 所以方程组有唯一的解． 故选B． 【点睛】 本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 4．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是 (　　) A． B． C．6 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 设点 关于 轴的对称点 ，点 关于直线 的对称点 ，由对称点可求 和 的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程为 . 【详解】 点 关于 轴的对称点 坐标是 ， 设点 关于直线 的对称点 ， 由 ，解得 ， 故光线所经过的路程 ，故选D. 【点睛】 解析几何中对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称， 关于直线 的对称点 ，利用 ，且 点 在对称轴 上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解. 5．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为 ，若将军从点 处出发，河岸线所在直线方程为 ，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A． B． C． D． [来源:学*科*网] 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出点A关于直线 的对称点 ，点 到圆心的距离减去半径即为最短. 【详解】 解：设点A关于直线 的对称点 ， 的中点为 ， 故 解得 ， 要使从点A到军营总路程最短， 即为点 到军营最短的距离， “将军饮马”的最短总路程为 ， 故选A. 【点睛】 本题考查了数学文化问题、点关于直线的对称问题、点与圆的位置关系等等，解决问题的关键是将实际问题转化为数学问题，建立出数学模型，从而解决问题. 6．已知 ，两条不同直线 与 的交点在直线 上，则 的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】C 【解析】 【分析】 联立方程求交点，根据交点在在直线 上，得到三角关系式，化简得到答案. 【详解】[来源:学。科。网Z。X。X。K] 交点在直线