1.4.1 充分条件与必要条件（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第一章　§1.4　充分条件与必要条件 1.4.1　充分条件与必要条件 1 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解充分条件、必要条件的概念. 2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　充分条件与必要条件   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 P q P ____q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 ⇒ ⇏ 充分 必要 充分 必要 思考1　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？ 答案　不唯一.例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2” “x>3”或“2<x<3”等. 思考2　p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案　相同，都是p⇒q. 思考3　以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？ 答案　等价. 预习小测 自我检验 YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN 1.若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的______条件. 解析　因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似， 即q⇒p，所以p是q的必要条件. 必要 2.已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的______条件. 充分 解析　因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B， 所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件. 3.p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的______条件. 解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p， ∴p是q的必要条件. 必要 4.p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的_____条件. 解析　因为当a＝0时，一定有ab＝0成立， 即p⇒q，所以p是q的充分条件. 充分 2 题型探究 PART TWO 例1　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB； 一、充分条件的判断 解　在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件. (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0； 解　由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0，故p是q的充分条件. (3)已知x∈R，p：x>1，q：x>2. 解　方法一　由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件. 方法二　设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. 反思感悟 充分条件的判断方法 (1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题. (2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件. 跟踪训练1　“x>2”是“x2>4”的______条件. 解析　x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件. 充分 例2　指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； 二、必要条件的判断 解　因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件. (2)p：A⊆B，q：A∩B＝A； 解　因为p⇒q， 所以q是p的必要条件. (3)p：a>b，q：ac>bc. 解　因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 反思感悟 必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件. (2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 跟踪训练2　指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ (1)p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B； 解　因为对顶角相等，所以p⇒q， 所以q是p的必要条件. (2)p：|x|>2，q：x>2. 解　因为当|x|>2时，x>2或x<－2，所以p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 三、充分条件与必要条件的应用 例3　已知p：实数x满足3a<x<a，其中a<0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围. 解　p：3a<x<a，即集合A＝{x|3a<x<a}. q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}. 因为p⇒q，所以A⊆B， 延伸探究 将本例中条件p改为“实数x满足a<x<3a，其中a>0”，若p是q的