1.5.1 全称量词与存在量词（课件）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第一章　§1.5　全称量词与存在量词 1.5.1　全称量词与存在量词 1 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们 的真假. 学习目标 XUE XI MU BIAO 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1 知识梳理 PART ONE 知识点　全称量词和存在量词   全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有 的命题是全称量词命题 含有 的命题是存在量词命题 命题 形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“ ” 全称量词 存在量词 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 思考1　全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 答案　元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围. p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”. 思考2　“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式. 答案　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”. 1.“三角形内角和是180°”是全称量词命题.(　　) 2.“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题.(　　) 3.“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题.(　　) 4.存在量词命题“∃x∈R，x2<0”是真命题.(　　) 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU √ × √ √ 2 题型探究 PART TWO 一、全称量词命题与存在量词命题的识别 例1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题. (1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立； 解　全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； 解　全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解. (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； 解　存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除. (4)某个四边形不是平行四边形. 解　存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形. 反思感悟 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词.由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题. (1)凸多边形的外角和等于360°； 解　可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题. (2)矩形的对角线不相等； 解　可以改为所有矩形的对角线不相等， 故为全称量词命题. (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； 解　若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形， 故为全称量词命题. (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； 解　含存在量词“有些”，故为存在量词命题. (5)方程3x－2y＝10有整数解. 解　可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立. 故为存在量词命题. 二、全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 例2　判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z，x3<1； 解　因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题. (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； 解　由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题. (3)∀x∈N，x2>0. 解　因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题. 反思感悟 判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假. (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可. 跟踪训练2　试判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1≥2； 解　取x＝0，则x2＋1＝1<2， 所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题. (2)直角坐标系内