1.2 集合间的基本关系（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

§1.2　集合间的基本关系 学习目标　1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法． 知识点一　子集、真子集、集合相等 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等[来源:学*科*网] A＝B 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 思考1　任何两个集合之间是否有包含关系？ 答案　不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 思考2　符号“∈”与“⊆”有何不同？ 答案　符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 知识点二　空集 1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. 2．规定：空集是任何集合的子集． 思考　{0}与∅相同吗？ 答案　不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 1．已知集合M＝{x|x是菱形}，N＝{x|x是正方形}，则集合M与集合N的关系为________． 答案　NM 解析　因为正方形是菱形，所以NM.[来源:Zxxk.Com] 2．用“⊆”或“∈”填空：{0,2}________{2,1,0},2________{2,1,0}． 答案　⊆　∈ 3．设a∈R，若集合{2,9}＝{1－a,9}，则a＝________. 答案　－1 解析　1－a＝2，解得a＝－1. 4．集合{0,1}的子集有________个． 答案　4 解析　集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个． 一、集合间关系的判断 例1　指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (2)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB. (3)由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，故NM. 反思感悟　判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察． (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用数轴或Venn图． 跟踪训练1　(1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是(　　) A．M＝N B．NM C．MN D．N⊆M 答案　C 解析　解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1,2}，因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN. (2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的关系是(　　) A．A⊆B B．A＝B C．AB D．BA 答案　D 解析　因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集． 二、确定集合的子集、真子集 例2　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 解　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0， 解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4. 故集合A＝{－4，－1,4}． 由0个元素构成的子集为∅； 由1个元素构成的子集为{－4}，{－1}，{4}； 由2个元素构成的子集为{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}； 由3个元素构成的子集为{－4，－1,4}． 因此集合A的子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}． 真子集为∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．[来源:学科网] (学生) 反思感悟　求集合子集、真子集的3个步骤 跟踪训练2　满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有__