1.3 第2课时 补集（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

第2课时　补　集 学习目标　1.了解全集的含义及其符号表示.2.理解给定集合中一个子集的补集的含义，并会求给定子集的补集.3.会用Venn图、数轴进行集合的运算． 知识点　全集与补集 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 思考　全集一定是实数集R吗？ 答案　不一定．全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z. 2．补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U且x∉A} 图形语言 思考　∁UA包含哪三层意思？ 答案　①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合． 1．全集一定含有任何元素．(　×　) 2．集合∁RA＝∁QA.(　×　) 3．一个集合的补集一定含有元素．(　×　) 4．存在x0∈U，x0∉A，且x0∉∁UA.(　×　)[来源:学科网ZXXK] 5．设全集U＝R，A＝，则∁UA＝.(　×　) 一、补集的运算 例1　(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM等于(　　) A．{x|－2≤x≤2} B．{x|－2<x<2} C．{x|x<－2或x>2} D．{x|x≤－2或x≥2} 答案　A 解析　如图，在数轴上表示出集合M， 可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}． (2)设U＝{x∈Z|－5≤x<－2或2<x≤5}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁UA＝________，∁UB＝________. 答案　{－5，－4,3,4}　{－5，－4,5} 解析　方法一　在集合U中，∵x∈Z， 则x的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又∵A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． 方法二　可用Venn图表示． 则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． (学生) 反思感悟　求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成集合． 跟踪训练1　(1)已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3<x≤4}，则∁UA＝________； 答案　{x|x＝－3或x>4} 解析　借助数轴得∁UA＝{x|x＝－3或x>4}． (2)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，∁UB＝{1,4,6}，则集合B＝________． 答案　{2,3,5,7} 解析　方法一　(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}．又∁UB＝{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}． 方法二　(Venn图法)：满足题意的Venn图，如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． 二、交、并、补集的综合运算 例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)，∁U(A∪B)，(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)，(∁UA)∪(∁UB)． 解　如图所示． ∵A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3≤x≤2}， U＝{x|x≤4}， ∴∁UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}， ∁UB＝{x|x<－3或2<x≤4}， A∪B＝{x|－3≤x<3}． 故A∩B＝{x|－2<x≤2}， (∁UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}， A∩(∁UB)＝{x|2<x<3}， ∁U(A∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}， (∁UA)∩(∁UB)＝{x|x<－3或3≤x≤4}， ∁U(A∩B)＝{x|x≤－2或2<x≤4}， (∁UA)∪(∁UB)＝{x|x≤－2或2<x≤4}． 反思感悟　解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 跟踪训练2　已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4，7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩ (∁UB)，A∩(∁UB)，