1.5.1 全称量词与存在量词（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

§1.5　全称量词与存在量词 1．5.1　全称量词与存在量词 学习目标　1.理解全称量词、全称量词命题的定义.2.理解存在量词、存在量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 知识点　全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 思考1　全称量词命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？ 答案　元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围．p(x)表示集合M的所有元素满足的性质．如“任意一个自然数都不小于0”，可以表示为“∀x∈N，x≥0”． 思考2　“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式． 答案　是存在量词命题，可改写为“存在x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”． 1．“三角形内角和是180°”是全称量词命题．(　√　) 2．“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题．(　√　) 3．“∀x∈R，x2＋1≥1”是真命题．(　√　) 4．存在量词命题“∃x∈R，x2<0”是真命题．(　×　) 一、全称量词命题与存在量词命题的识别 例1　判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题，并用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立； (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形． 解　(1)全称量词命题，表示为∀x∈{x|x>－1},3x＋4>0. (2)全称量词命题，表示为∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (3)存在量词命题，表示为∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． (4)存在量词命题，表示为∃x∈{y|y是四边形}，x不是平行四边形． (学生) 反思感悟　判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法 判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题的关键是看量词．由于某些全称量词命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题． 跟踪训练1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 解　(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等， 故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形， 故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立． 故为存在量词命题． 二、全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 例2　判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z，x3<1； (2)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (3)∀x∈N，x2>0. 解　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1， 所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题． (2)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． (学生)[来源:Zxxk.Com] 反思感悟　判断一个命题为真命题应给出证明，判断一个命题为假命题只需举出反例，具体而言 (1)要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合内找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则命题为假． (2)要判定一个全称量词命题为真，必须对给定集合内的每一个元素x，p(x)都成立，但要判定一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合内找到一个x，使p(x)不成立即可． 跟踪训练2　试判断下列命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1≥2； (2)直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点； (3)存在一对整数x，y，使得2x＋4y＝6. 解　(1)取x＝0，则x2＋1＝1<2， 所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题． (2)与x轴平行的直线与x轴无交点， 所以该命题为假命题． (3)取x＝3，y＝0，则2x＋4y＝6，故为真命题． 三、依据含量词命题的真假求参数的取值范围 例3　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤