1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

1．5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 学习目标　1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点　含量词的命题的否定 p 綈p[来源:学|科|网Z|X|X|K] 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 思考1　用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？ 答案　不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”． 思考2　对省略量词的命题怎样否定？ 答案　对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然． 1．命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称量词命题．(　×　) 2．若命题綈p是存在量词命题，则命题p是全称量词命题．(　√　) 3．“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相反．(　√　) 4．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(　√　) 一、全称量词命题的否定 例1　写出下列命题的否定． (1)所有分数都是有理数； (2)所有被5整除的整数都是奇数； (3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0. 解　(1)该命题的否定：存在一个分数不是有理数． (2)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数． (3)∃x∈R，x2－2x＋1<0. (学生) 反思感悟　全称量词命题否定的关注点 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)． (2)全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定． 跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定： (1)所有自然数的平方都是正数； (2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (3)对任意实数x，x2＋1≥0. 解　(1)綈p：有些自然数的平方不是正数． (2)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根． (3)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0. 二、 存在量词命题的否定 例2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)某些梯形的对角线互相平分； (2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小； (3)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3. 解　(1)任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题． (2)对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题． (3)命题的否定是“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，因此命题的否定是假命题． (学生) 反思感悟　存在量词命题否定的关注点 (1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)． (2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定． 跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假： (1)有的素数是偶数； (2)∃a，b∈R，a2＋b2≤0. 解　(1)命题的否定：所有的素数都不是偶数． 由于2是素数也是偶数，因此命题的否定为假命题． (2)命题的否定：∀a，b∈R，a2＋b2>0. ∵当a＝b＝0时，a2＋b2＝0， ∴命题的否定是假命题． 三、全称量词命题与存在量词命题的综合应用 例3　已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． (教师) 延伸探究 1．把本例中的条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围． 解　令y＝－x2＋4x－1， 因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3≤3， 又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解， 所以只要m小于函数的最大值即可， 所以所求m 的取值范围是{m|m<3}． 2．把本例中的条件“∀x∈R”改为“∀x≥1”，求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋4x－1，x≥1，[来源:学#科#网Z#X#X#K] 则y＝(x＋2)2－5≥(1＋2)2－5＝4， 因为∀x≥1，不等式x2＋4x－1>m恒成立， 所以只要m<4即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<4}． (学生) 反思感悟　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量