第一章 章末复习课（导学案）-2020-2021学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版）

章末复习课 一、集合的概念与运算 1．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解． 2．掌握集合的概念与运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例1　(1)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于(　　) A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3 答案　D 解析　当m＝0时，方程mx－6＝0无解， B＝∅，满足B⊆A； 当m≠0时，B＝，因为B⊆A，所以＝2或＝3，解得m＝3或m＝2. (2)已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． ①若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围； ②是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？ 解　①∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0或x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴∴－1≤a≤0. ∴a的取值范围为{a|－1≤a≤0}．[来源:学*科*网Z*X*X*K] ②由(1)知(∁RA)∪B＝R时， －1≤a≤0，而2≤a＋3≤3， ∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾． 即这样的a不存在． 反思感悟　集合基本运算的关注点 (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．[来源:学科网ZXXK] (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图． 跟踪训练1　(1)(多选)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则(　　) A．A∩B＝ B．A∩(∁RB)＝ C．A∪B＝ D．(∁RA)∪B＝R 答案　AB 解析　因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，∁RA＝{x|x≥2}，∁RB＝， 所以A∩B＝，A∩(∁RB)＝，A∪B＝{x|x<2}，(∁RA)∪B＝. (2)已知集合M＝{(x，y)|y＝3x2}，N＝{(x，y)|y＝5x}，则M∩N中的元素个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　联立解得或 因此M∩N中的元素个数为2. 二、充分条件与必要条件 1．若p⇒q，且q⇏p，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件； 若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件． 2．掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推理和数学运算素养． 例2　(1)设x∈R，则“x>3或x<0”是“x>4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由x>3或x<0，推不出x>4， 但当x>4时，不等式x>3或x<0成立． (2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解　∵q是p的充分不必要条件， ∴BA， ∴或 解得－≤a<0或a≤－4. ∴a的取值范围为. 反思感悟　充要条件的常用判断方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：设命题p对应的集合为A，命题q对应的集合为B，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件． 跟踪训练2　(1)设x∈R，则“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　A 解析　|x－2|<1⇔1<x<3， 由于{x|1<x<3}是{x|x>1或x<－2}的真子集，[来源:Z.xx.k.Com] 所以“|x－2|<1”是“x>1或x<－2”的充分不必要条件． (2)若－a<x<－1成立的一个充分不必要条件是－2<x<－1，则a的取值范围是________． 答案　a>2[来源:学*科*网] 解析　根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系， 应有{x|－2<x<－1}{x|－a<x<－1}， 所以－a<－2，解得a>2. 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素养． 例3　(1)命题：“∀x∈R，x2≠x”的否定是(　　) A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2≠x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x 答案　D[来源:学+科+网Z+X+X+K] 解析　先将“∀”改为