专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示 一、空间直角坐标系 在空间中选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度，建立三条数轴，x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz.其中O叫做 ， i，j，k叫做 . 空间向量的坐标a=x i +y j +zk，则向量的坐标可写成a= . 二、空间向量的坐标运算 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) 空间向量相加a+b=　 　  空间向量相减a-b =　　 　　 空间向量数量积a·b =　　　 　 空间向量共线a∥b⇒　　 　(λ∈R，b≠0) 空间向量垂直a⊥b⇔　　　 　 空间向量夹角cos<a，b>= 一、原点 坐标向量 {x，y，z} 二、(a1+b1，a2+b2，a3+b3) (a1-b1，a2-b2，a3-b3)　a1b1+a2b2+a3b3　a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3　a1b1+a2b2+a3b3=0 帮—重点 空间向量的坐标表示 帮—难点 空间向量坐标运算的应用 帮—易错 空间向量坐标计算夹角等 1．空间向量坐标表示平行及垂直 a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3) （1）a∥b⇒ a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 (λ∈R，b≠0) （2）a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 已知向量a=(2，-3，5)，b=，且a∥b，则λ等于　　　 【答案】- 【解析】a∥b⇒a=kb⇒⇒ 【名师点睛】本题根据空间向量共线定理的坐标表示，a∥b⇒ a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3 (λ∈R，b≠0). 已知向量且与互相垂直，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， ， 又因为与互相垂直，所以， ，解得 故选. 【名师点睛】本题考查空间向量的坐标运算，首先表示出与的坐标，再根据与互相垂直，得到计算可得. 2．空间向量坐标表示数量积运算及求向量夹角 （1）数量积a·b = a1b1+a2b2+a3b3 （2）空间向量夹角cos<a，b>= 已知向量，，若，则k的值等于（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知得=，2，且， 所以得， 即2k+8