专题19解直角三角形- 2020年中考数学母题题源解密（新疆专用）

专题19解直角三角形 【母题来源】2020年新疆中考数学-20 【母题题文】如图，为测量建筑物CD的高度，在点A测得建筑物顶部D点的仰角是，再向建筑物CD前进30米到达B点，测得建筑物顶部D点的仰角为（A，B，C在同一直线上），求建筑物CD的高度．（结果保留整数.参考数据：） 【试题解析】 【答案】CD的高度是16米． 【解析】 【分析】 设建筑物CD的高度为xm，在Rt△CBD中，由于∠CBD=58°，用含x的代数式表示BC，在Rt△ACD中，利用22°的锐角三角函数求出x，即可得到答案． 【详解】 解：设建筑物CD的高度为xm； 由 由 解得： 答：CD的高度是16米． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键． 【命题意图】 考察学生对于基本的三角函数的理解和应用，考察学生对于实际问题中，建立数学模型的能力；在数学模型中，能够结合三角函数的特点，求出特定的线段长度。 【命题方向】 这类题目一般给出1个线段长度，两个角度，运用三角函数求出其他的边长，再根据线段的关系求出问题。 【得分要点】 1．【2019·新疆中考真题】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处。 （1）求海轮从A处到B处的途中与灯塔P之间的最短距离（结果保留根号）； （2）若海轮以每小时30海里的速度从A处到B处，试判断海轮能否在5小时内到达B处，并说明理由。 （参考数据：） 【答案】（1）；（2）海轮不能在5小时内到达B处. 【解析】 【分析】 （1）过点P作，垂足为点C ，根据题意得出， 海里，再利用三角函数即可解答. （2）由题意可得.，再根据特殊角的三角函数求出BC,AC的值，即可解答. 【详解】 解（1）过点P作，垂足为点C 由题意得，，海里. 在中，（海里）. 海轮从A处到B的途中与灯塔P之间的最短距离为海里. . （2）由题意得，. 在中，. 在中，. . .. 海轮不能在5小时内到达B处. 【点睛】 此题考查解直角三角形的实际应用，解题关键在于三角函数的灵活运用. 2．【新疆自治区2018年中考数学试题】如图，在数学活动课上，小丽为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．已知旗杆与教学楼的距离BD=9m，请你帮她求出旗杆的高度（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 分析：过点C作CF⊥AB，垂足为F.根据在Rt△ACF中，tan∠ACF=，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD=，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案． 详解：过点C作CF⊥AB，垂足为F. ∴CF=BD=9m. 在Rt△ACF中， ∵tan∠ACF=， ∴tan30°=， ∴=， ∴AF=3m， 在Rt△BCD中， ∵∠BCD=45°， ∴BD=CD=9m， ∴AB=AD+BD=3+9（m）． 点睛：此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形 3．【2017•新疆乌鲁木齐•中考真题】一艘渔船位于港口的北偏东方向，距离港口海里处，它沿北偏西方向航行至处突然出现故障，在处等待救援，之间的距离为海里，救援船从港口出发分钟到达处，求救援的艇的航行速度.，结果取整数） 【答案】救援的艇的航行速度大约是64海里/小时． 【解析】 试题分析：辅助线如图所示：BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF，在Rt△ABD中，根据勾股定理可求AD，在Rt△BCE中，根据三角函数可求CE，EB，在Rt△AFC中，根据勾股定理可求AC， 再根据路程÷时间=速度求解即可． 试题解析：辅助线如图所示： BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF， 有题意知，∠FAB=60°，∠CBE=37°， ∴∠BAD=30°， ∵AB=20海里， ∴BD=10海里， 在Rt△ABD中，AD=≈17.32海里， 在Rt△BCE中，sin37°=， ∴CE=BC•sin37°≈0.6×10=6海里， ∵cos37°=， ∴EB=BC•cos37°≈0.8×10=8海里， EF=AD=17.32海里， ∴FC=EF﹣CE=11.32海里， AF=ED=EB+BD=18海里， 在Rt△AFC中， AC=≈21.26海里， 21.26×3≈64海里/小时． 答：救援的艇的航行速度大约是64海里/小时． 考点：解直角三角形的应用﹣方向角问题． 4．【2017年初中毕业升学考试（新疆建设兵团卷）数学】如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离BC为30m，在A点测得D点的仰角∠EAD为45°，在B点测得D点的仰