专题7 二次函数与一元二次方程、不等式-2020年高一国庆假期数学作业每日一练（新教材人教A版2019必修第一册）

专题7 二次函数与一元二次方程、不等式 知识储备 1、 基本知识 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 二、解读二次函数与一元二次方程、不等式 1．一元二次不等式概念中的关键词 (1)一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)． (2)二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0. 2．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 (1)函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． (2)方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 三、思想方法 1.解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法．　　　　 2．含参一元二次不等式的解法 3．一元二次不等式在R上的恒成立问题 (1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (2)一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (3)一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 (4)一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 [提醒]　当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 4.一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 (1)求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． (2)求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c. 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集．　 5.解不等式应用题的步骤 　　 能力检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（2020·浙江高一课时练习）不等式的解集为（ ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解析】．故选：A． 2.（2020·唐山市第十二高级中学高一期末）不等式x2＋ax＋4＜0的解集不为空集，则a的取值范围是（ ） A．［－4，4］ B．（－4，4） C．（－∞，－4］∪［4，＋∞） D．（－∞，－4）∪（4，＋∞） 【答案】D 【解析】不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，只需Δ＝a2－16>0，∴a<－4或a>4， 故选D. 3．在R上定义运算⊙：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|－1<x<2} 【答案】B 【解析】由a⊙b＝ab＋2a＋b，得x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2＝x2＋x－2<0， 所以－2<x<1. 4．某商品在最近30天内的价格m与时间t(单位：天)的函数关系是m＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y与时间t的函数关系是y＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为(　　) A．{t|15≤t≤20} B．{t|10≤t≤15} C．{t|10<t<15} D．{t|0<t≤10} 【答案】B 【解析】由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15. 5．若0<a<1，则不