专题6 基本不等式-2020年高一国庆假期数学作业每日一练（新教材人教A版2019必修第一册）

专题6 基本不等式 知识储备 一基本知识 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．在运用基本不等式及其变形时，一定要验证等号是否成立 (2)≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥ (a，b∈R)． 【注意】每个不等式成立的条件不一样。 【探究】函数y＝x＋的最小值是2吗？ 提示　不是．因为函数y＝x＋的定义域是{x|x≠0}， 当x<0时，y<0，所以函数y＝x＋无最小值． 3．算术平均数与几何平均数 设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小) (2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大) 二、解读基本不等式 1．不等式a2＋b2≥2ab与的比较 (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)． (2)两个不等式a2＋b2≥2ab和都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 2．应用基本不等式求最值的原则 利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： (1)一正：符合基本不等式成立的前提条件，a>0，b>0； (2)二定：化不等式的一边为定值； (3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可． 3、 【思想方法】 1.利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立； ②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，构成基本不等式模型再使用． 2.利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配． (1)拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． (2)并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值． (3)配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 4.求实际问题中最值的解题4步骤 (1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； (2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； (4)正确写出答案．　　　　 能力检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020·浙江高二学业考试）已知实数，满足，则的最大值是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以，得 . 故选：D. 2．（2020·江门市第二中学高一期中）若实数满足，则的最小值是（ ） A．18 B．9 C．6 D．2 【答案】C 【解析】因为，， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为6， 故选：C 3．（2020·上海高三其他）下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B 4．（2020·全国高一）当时，函数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，由于，所以，当且仅当时，等号成立. 故选B. 5．（2020·浙江高一单元测试）已知不等式对任意实数、恒成立，则实数的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 若，则，从而无最小值，不合乎题意； 若，则，. ①当时，无最小值，不合乎题意； ②当时，，则不恒成立； ③当时，