专题5 等式性质与不等式性质-2020年高一国庆假期数学作业每日一练（新教材人教A版2019必修第一册）

专题5 等式性质与不等式性质 知识储备 1、 基本知识 1.两个实数比较大小的依据 (1)a－b＞0⇔a＞b. (2)a－b＝0⇔a＝b. (3)a－b＜0⇔a＜b. 2.等式与不等式的性质 等式的性质 不等式的性质 a＝b⇔b＝a 性质1：a>b⇔b<a a＝b，b＝c⇒a＝c 性质2：a>b，b>c⇒a>c a＝b⇔a＋c＝b＋c 性质3：a>b⇔a＋c>b＋c a＝b⇒ac＝bc 性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d 性质5：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d a＝b，c＝d⇒ac＝bd 性质6：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd a＝b≥0⇒an＝bn 性质7：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 2、 等式性质与不等式性质的解读 1．用不等式表示不等关系 常见的文字语言与数学符号之间的转换如下表所示： 文字语言 数学符号 文字语言 数学符号 大于 > 至多 ≤ 小于 < 至少 ≥ 大于等于 ≥ 不少于 ≥ 小于等于 ≤ 不多于 ≤ 2．对不等式性质的六点说明 (1)性质1和性质2，分别称为“对称性”与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较大小的“定义”等知识． (2)性质3(即可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，可以把它从一边移到另一边”的依据． (3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”． (4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”． (5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除式． (6)性质1和性质3是双向推导，其他是“单向”推导． 三、思想方法 1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量． (2)用适当的不等号连接． (3)多个不等关系用不等式组表示． 2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．　 3．利用作差法比较大小的四个步骤 (1)作差：对要比较大小的两个式子作差． (2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形． (3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号． (4)作出结论． [提醒]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等． 4．利用不等式的性质判断正误的2种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 5．利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 能力检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120 km/h.行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示(　　) A．v≤120(km/h)或d≥10 (m) B. C．v≤120(km/h) D．d≥10(m) 2．已知0<a1<1，0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N　　　　　　　 B．M>N C．M＝N D．M≥N 3（2020·浙江高一课时练习）有外表一样、重量不同的四个小球，它们的重量分别是，已知，，，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）． A． B． C． D． 4．若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　) A．－2<α－β<0 B．－2<α－β<－1 C．－1<α－β<0 D．－1<α－β<1 5．（2020·内蒙古宁城高二期末（文））设a>b>0，c<d<0，则下列不等式中一定成立的是（ ） A． B． C． D． （2020·安徽金安六安一中高一期中（文））已知二次函数的图象过原点，且，则的取值范围为（ ） 11．(多选)若<0，则下列结论中正确的是(　　) A．a2<b2 B．ab<b2 C