专题3 充分条件与必要条件-2020年高一国庆假期数学作业每日一练（新教材人教A版2019必修第一册）

专题3 充分条件与必要条件 知识储备 一、充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【思考】明晰充要关系与集合的子集之间的关系 设，， ①若⊆，则是的充分条件，是的必要条件． ②若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． ③若＝，则是的充要条件． 二．充分条件、必要条件的理解 (1)对“推出”的正确理解 对于命题p：x>2，q：x>1.显然p可以推出q，记为p⇒q，而q是不能推出p的． (2)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”． (3)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”． 2．对充要条件的理解 (1)p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”． (2)要判断p是不是q的充要条件，需要进行两次判断：一是看p能否推出q，二是看q能否推出p.若p能推出q，q也能推出p，就可以说p是q的充要条件，否则，就不能说p是q的充要条件． 三、【思想方法】 1.充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p⇒q，q p，则p是q的充分不必要条件； 若p q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件； 若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件； 若p q，q p，则p是q的既不充分又不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A⊆B，则p是q的充分条件； 若A⊇B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若AB，则p是q的充分不必要条件； 若AB，则p是q的必要不充分条件．　 2.充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题． (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．　 3.充要条件的证明思路 (1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“必要性”两个方面来证明．在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是q⇒p，“必要性”是p⇒q；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反． (2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立．若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明． [提醒]　证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向． 能力检测 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“x＝1是x2－4x＋3＝0”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件， 若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A. 2．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C， 反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C. ∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B. 3．已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件．故选B. 4．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的(　　) A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，但“a≤”不能推出“a<”，即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件，故选A. 5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是(　　) A．a≥b＋1 B．a>b－1 C．a2>b2 D．a3>b3 【答案】A 【解析】由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5/⇒4≥3.5＋1，故a>b/⇒a≥b＋1，故A正确． 6．已知命题p：－1<x<