专项训练2 含30°角的直角三角形的巧解-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练2 含30°角的直角三角形的巧解 【技巧剖析】 （1）含30°直角的性质 在三角形ABC中，如果一个锐角等于30°，（缺一不可）那么它所对的直角边等于斜边的一半. （2）含30°直角的性质逆用 在直角三角形中，如果它的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°. （3）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的主要依据，在中考中也是常考体题型. ( 方法1 ) 含30°角的直角三角形的求角问题 【例题】 1．（2020·山东泗水期中）若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 （ ） A．75°或30° B．75° C．15° D．75°和15° 【例题分析】 【答案】D 【解析】 当等腰三角形是锐角三角形时，如图1所示： ∵CD⊥AB， 即在Rt△ACD中， CD=AC， ∴∠A=30°， ∴∠B=∠ACB==75°； 当等腰三角形是钝角三角形时，如图2示， ∵CD⊥AB， 即在Rt△ACD中， CD=AC， ∴∠CAD=30°， ∴∠B=∠C=∠CAD=15°． 综上，其底角为75°或15°． 故选：D． 【举一反三】 2．（2020·山东泰安二模）一副三角板如图摆放（直角顶点重合），边与交于点，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 解：由题意知，， ∵， ∴， 在中， ， 故选：A． 3．（2019·河南平顶山期末）如图，在中，，垂直平分于点，交于点，则为（ ） A．30° B．25° C．20° D．15° 【答案】D 【解析】 连接BD， ∵DE垂直平分AB于E， ∴AD=BD=2BC， ∴ ∵ ∴∠BDC=30°， 又∵BD=DA， ∴． 故选D． ( 方法2 ) 含30°角的直角三角形的求线段长度 【例题】 4．（2020·辽宁月考）如图，是一个直角三角形，其中，垂足分别是，那么的长是多少？ 【例题分析】 【答案】 【解析】 解：在中，， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在中，， ∴． ∵在中，， ∴． 【举一反三】 5．（2020·广东高州期中）如图，已知在中，，为边的中点，过点作，，垂足分别为，. （1）求证：； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）见解析；（2）12 【解析】 （1）证明: ∵DE⊥AB,DF⊥A， ∴∠BED=∠CFD=90°， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B， ∵D是BC的中点， ∴.BD=CD， 在△BED和△CFD中, , ∴△BED≌△CFD， ∴DE=DF ；      （2）解：∵AB=AC, ∠A=60°， ∴△ABC为等边三角形， .∴∠B=60°， ∵∠BED=90°， ∴∠BDE=30°， ∴， ∵BE=1， ∴BD=2， ∴BC=2BD=4. ​∴△ABC的周长为12. 6．（2020·辽宁北镇期中）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=BE，BD，CE交于点P，CF⊥BD，垂足为点F． （1）求证：BD=CE； （2）若PF=3，求CP的长． 【解析】 解：（1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴ AB=BC，∠BAC=∠ABC=60º， 又∵AD=BE， 在△ABD和△BCE中， ∴△ABD≌△BCE（SAS）， ∴BD=CE （2）由（1）可知∠ABC=60º，△ABD≌△BCE， ∴∠ABD=∠BCE， ∴∠ABD+∠CBD =∠ABC=60º， ∴∠BCE+∠CBD =60º， ∴∠BPC =180º-60º=120º（三角形内角和定理）， ∴∠FPC =180º-120º=60º， ∵CF⊥BD， ∴△CPF为直角三角形， ∴∠FCP =30º， ∴CP=2PF， ∵PF=3，∴CP=6 ( 方法 3 ) 含30°角的直角三角形的证明线段倍分 【例题】 7．（2020·江苏南通田家炳中学月考）如图，已知：等边三角形ABC，点D是AB的中点，BC⊥DE，垂足为E，求证：BC=4BE 【例题分析】 【解析】 ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=60°，AB= BC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEB=90°，∠BDE=30°， ∴BD=2BE， ∵点D是AB的中点， ∴AB=2BD， ∴BC= AB=4BE． 【举一反三】 8．（2020·广东华侨中学）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°． （1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：BD＝3CD． 【解析】 （1）如图所示，AD即为所求； （2）证明： ∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°， ∴BC＝2AC，∠C＝60°， ∵AD⊥BC， ∴∠CAD＝30°，