专项训练1 转化的思想方法（转化-两头凑）-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练1 转化的思想方法（转化-两头凑） 【技巧剖析】 转化思想：利用垂直平分线，全等三角形，角平分线等，将n个问题和转化为n-1个问题的求法； “两头凑”的分析方法：先从要证的结论开始寻找它成立需具备的条件，再从已知条件出发，看如何得到满足的条件，从而找到证题的途径. 转化思想和“两头凑的”的分析方法在中考中是经常考到的，学生必须掌握. ( 方法1 ) 转化的思想 【例题】 1．（2020·黑龙江月考）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【例题分析】 【答案】D 【解析】连接DB、GE、FK，则DB∥GE∥FK，再由平行线间的距离相等及同底等高的两三角形面积相等得出S△DGE=S△GEB，S△GKE=S△GFE，进而把阴影部分面积转化为正方形GBEF的面积，即S阴影=S正方形GBEF． 解：如图，连接DB、GE、FK，则DB∥GE∥FK， 在梯形GDBE中，S△DGE=S△GEB（同底等高的两三角形面积相等）， 同理S△GKE=S△GFE． ∴S阴影=S△DGE+S△GKE， =S△GEB+S△GEF， =S正方形GBEF， =4×4 =16 故选D． 【举一反三】 2．（2019·全国）如图，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC＝30°，∠DEF＝45°，求∠CDE的度数． 【答案】105° 【解析】 解：如图，过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB. ∵AB∥EF， ∴AB∥CM∥DN∥EF. ∵AB∥CM，∴∠BCM＝∠ABC＝30°. ∵BC⊥CD，∴∠BCD＝90°， ∴∠MCD＝∠BCD－∠BCM＝90°－30°＝60°. ∵CM∥DN，∴∠1＝∠MCD＝60°. ∵DN∥EF，∴∠2＝∠DEF＝45°， ∴∠CDE＝∠1＋∠2＝60°＋45°＝105°. ( 方法2 ) “两头凑”的分析方法 【例题】 3．（2020·全国）如图，等边三角形中，的平分线交于点I，的垂直平分线分别交于点E，F．求证：． 【例题分析】 证明：连接． ∵垂直平分， ∴，同理． 又∵是等边三角形， ∴， 而分别平分， ∴． ∵， ∴， 同理， ∴为等边三角形． ∴， ∴． 【举一反三】 4．（2020·沈阳市第一二七中学月考）图中是一副三角板，45°的三角板 Rt△DEF 的直角顶点 D 恰好在 30°的三角板 Rt△ABC 斜边 AB 的中点处，∠A＝30°，∠E＝45°，∠EDF＝∠ACB＝90°，DE 交 AC 于点 G，GM⊥AB 于 M． （1）如图①，当 DF 经过点 C 时，作 CN⊥AB 于 N，求证：AM＝DN； （2）如图②，当 DF∥AC 时，DF 交 BC 于 H，作 HN⊥AB 于 N，（1）的结论仍然成立，请你说明理由． 【解析】 【分析】 根据题干可推知,本题主要考查了特殊三角形的判定及性质. (1)根据指教三角形斜边的中线的性质,先证出△BCD是等边三角形，再利用等腰三角形三线合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°, 那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD,所以可证出AM=DN; (2)根据全等三角形的判定定理及性质定理,先证△ADG≌△DBH,在此基础上再证△AGM≌△DHN,从而得出AM=DN. 【详解】 (1)证明:∵∠ACB= 90°，D是AB的中点， ∴CD= AD= BD 又∵∠B=90°-∠A=60°, ∴△BCD是等边三角形, 又∵CN⊥DB， ∴DN=BD, ∵∠EDF=90°，△BCD是等边三角形， ∴∠ADG= 30°,而∠A = 30°, ∴GA = GD, ∵GM⊥AB， ∴AM=AD; 又∵AD=DB， ∴AM = DN. 故AM = DN得证. (2) (1)的结论仍然成立，理由如下 ∵DF//AC, ∴∠1=∠A =30°,∠AGD=∠GDH =90°, ∴∠ADG = 60°. ∵∠B=60° ,AD= DB, ∴△ADG≌△DBH, ∴ AG= DH. 又∵∠1= ∠A, GM⊥AB , HN⊥AB, ∴△AMG≌△DNH， ∴ AM= DN. 故(1)的结论仍然成立. 【能力提升】 1．（2020·湖南涟源期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CD的长为（　　） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【解析】 解：是的垂直平分线， ， ， 是的角平分线， ， ， ，， ， ， 故选：． 2．（2020·中北大学附属学校期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的