专题1.4 空间向量的综合应用-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 1.4空间向量的综合应用 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。[来源:Z.xx.k.Com] 一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分） 1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱 的棱长均为2，则异面直线 与 所成角的余弦值是( ) [来源:Zxxk.Com] A． B． C． D．0 2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系 中， ， ， ，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面 是边长为2的等边三角形， 为底面的中心， 为 的中点，动点 在圆锥底面内（包括圆周）若 则点 形成的轨迹的长度为( 　 ) A． B． C． D． 5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体 中， 平面 ， ，那么二面角 的余弦值为（ ） A． B． C． D． 6．（2020·全国高二课时练习）如图所示， ， 是直角梯形 两腰的中点， 于点 ，现将△ 沿 折起，使二面角 为 ，此时点 在平面 内的射影恰为点 ，则 ， 的连线与 所成的角的大小为（ ） A． B． C． D． 7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点 ， ， ，则（ ） A． 与 是共线向量 B． 的单位向量是 C． 与 夹角的余弦值是 D．平面 的一个法向量是 8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥 中， ， 是 上的动点， 是 的直径， ， 是 的两个三等分点， ，记二面角 ， 的平面角分别为 ， ，若 ，则 的最大值是（ ） [来源:学科网ZXXK] A． B． C． D． 二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分） 9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体 ，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ） A． B． C．向量 与 的夹角是60° D． 与AC所成角的余弦值为 10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体 的棱长为1， 分别为 的中点．则（ ） A．直线 与直线 垂直 B．直线 与平面 平行 C．平面 截正方体所得的截面面积为 D．点 和点 到平面 的距离相等 11．（2020·山东高三其他）在长方体 中， ， ， 分别是 上的动点，下列结论正确的是（ ） A．对于任意给定的点 ，存在点 使得 B．对于任意给定的点 ，存在点 使得 C．当 时， D．当 时， 平面 三、填空题（3道小题，每小题满分5分） 12．（2018·上海市控江中学）写出直线 的一个法向量 =______． 13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体 中， 为 的中点，点 在线段 上，点 到直线 的距离的最小值为________. 14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点 在平面 上，三条棱 都在平面 的同侧，若顶点 到平面 的距离分别为 ， ，则顶点 到平面 的距离是______. 四、解答题（4道小题，每小题满分10分） 15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD中， ， ， ，E，F分别为AD，BC的中点，若沿着EF折叠使得 如图2所示，连结BC． （1）求证：平面 平面ABFE； （2）求二面角C-BF-D的余弦值． 16．（2020·湖南月考）已知四棱锥 中，底面 是边长为2的菱形，且 ， 平面 ， 、 分别是 、 上的中点，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，点 在 上移动. （1）证明：无论点 在 上如何移动，平面 平面 ； （2）若点 为 的中点，求二面角 的余弦值. 17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱 的底面是菱形，其中 .又点 分别在棱 上运动，且满足： ， . （1）求证： 四点共面，并证明 ∥平面 . （2）是否存在点 使得二面角 的余弦值为 ？如果存在，求出 的长；如果不存在，请说明理由. 18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1