专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 1.3空间向量及其运算的坐标表示（解析版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分） 1．（2020·全国课时练习）在空间直角坐标系中，已知 ， ， ， ，则直线AD与BC的位置关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法判定 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，求得向量 和 的坐标，再结合空间向量的数量积的运算，即可得到两直线的位置关系，得到答案. 【详解】 由题意，点 ， ， ， ， 可得 ， ， 又由 ， 所以 ，所以直线AD与BC垂直. 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的数量积的运算及其应用，其中解答中熟记空间向量的坐标运算，以及空间向量的数量积的运算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．（2020·全国课时练习）已知向量 ， ， ，若 ，则 与 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可得 ， ，且 ，所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ，选C. 【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现 的平行关系，就可以简化运算，否则要设 坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了． 3．（2020·全国单元测试）已知 为坐标原点，向量 ，点 ， .若点 在直线 上，且 ，则点 的坐标为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 由 在直线 上，设 ，再利用向量垂直，可得 ，进而可求E点坐标. 【详解】 因为 在直线 上，故存在实数 使得 EMBED Equation.DSMT4 ，[来源:Zxxk.Com] .若 ，则 ，所以 ，解得 ， 因此点 的坐标为 . 故选：A. 【定睛】 本题考查了空间向量的共线和数量积运算，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目. 4．（2018·北京一零一中学双榆树校区高二期中）正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，平面A1B1C1D1内的一动点P，满足到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等，则线段PA长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】[来源:Z.xx.k.Com] 【分析】 建立空间直角坐标系，由题意得点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上，由此可得点P坐标间的关系，然后根据空间中两点间的距离公式求解可得结果． 【详解】 如图，以A1D1的中点 为原点，以A1D1为x轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ． 由于动点P到点A1的距离与到线段C1D1的距离相等， 所以点P在以点A1为焦点、以C1D1为准线的抛物线上． 由题意得，在 平面内，抛物线的方程为 ， 设点P的坐标为 ，则 ， 所以 ， 又 ， 所以当 时， 有最小值，且 ． 故选C． 【点睛】 本题考查空间中两点间的距离公式及最值问题，解题的关键有两个：（1）建立空间直角坐标系，并得到相关点的坐标；（2）根据题意得到点P在抛物线上，进而消去一个参数将所求距离化为二次函数的问题处理． 5．（2019·浙江温州中学高三月考）在四面体ABCD中， 为等边三角形， ，二面角 的大小为 ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 以B为原点建立空间直角坐标系,根据关系写出各个点的坐标,利用平面 和平面 的法向量,表示出二面角 的余弦值,即可求得 的取值范围. 【详解】 以B为原点建立如图所示的空间直角坐标系: 因为 为等边三角形，不妨设 , 由于 ,所以 因为当 时 四点共面,不能构成空间四边形,所以 则 , , 由空间向量的坐标运算可得 设平面 的法向量为 则 代入可得 令 ,则 EMBED Equation.DSMT4 ,所以 设平面 的法向量为 则 ,代入可得 令 ,则 ,所以 二面角 的大小为 则由图可知,二面角 为锐二面角 所以 因为 所以 即 所以 故选:C 【点睛】 根据直线与平面夹角的特征及取值范围,即可求解,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 6．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{ }下的坐标为(2,1，－3)．若分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为(　　) A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3) C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9) 【答案