专题1.1 空间向量及其运算-2020-2021学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典 1.1空间向量及其运算 解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：本卷共16小题，6道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。 一、单项选择题 1．（2020·山西太原·高二期末（理））如图，把边长为1的正方形 沿对角线 折成直二面角，若点 满足 ，则 （ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 取 的中点 ，根据正方形的特点和线面垂直的判定定理，可证 平面 ，进而可得 ；又边长为1的正方形 沿对角线 折成直二面角，可知 ；再根据向量的减法可得 ，再利用数量积和模的关系即可求出结果. 【详解】 取 的中点 ，连接 ，如下图所示： 则 ， 又 ，所以 平面 ，所以 ， 又边长为1的正方形 沿对角线 折成直二面角， 所以 平面 ，所以 为直角三角形， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题考查了直二面角的定义，线面垂直的判定定理，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于中档题． 2．（2020·全国高二课时练习）设 是空间不共面的四点，且满足 ， ， ，则 是 　　 A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】 由 ， ， ，可得 ， 是锐角，同理可得 ， 都是锐角，从而可得结果． 【详解】 因为 ， ， ， 所以 ， ，故 是锐角， 同理 ， ，可得 ， 都是锐角， 故 是锐角三角形，故选B． 【点睛】 本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法： 看三角形的角； 看三角形的边 3．（2020·全国高二课时练习）平面上 、 、 三点不共线，设 ， ，则 的面积等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由三角形的面积公式可知 ，结合数量积公式可选出正确答案. 【详解】 解：由三角形的面积公式知 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了三角形的面积公式，考查了平面向量的数量积. 4．（2020·全国高二课时练习）如图，在大小为45°的二面角A­EF­D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由 ，利用数量积运算性质展开即可得到答案 【详解】 , 故 故选 【点睛】 本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础． 5．（2020·全国高二课时练习）空间四边形 的各边和对角线均相等， 是 的中点，那么（ ）. A． B． C． D． 与 的大小不能比较 【答案】C 【解析】 【分析】 空间四边形ABCD的各边及对角线均相等设为a，运用等边三角形的性质，可得 ，取BD的中点F，连接AF，EF，由余弦定理和向量的数量积的定义，计算可得 ，即可得到结论． 【详解】 空间四边形ABCD的各边及对角线均相等，设为a，E是边BC的中点，即有AE⊥BC，即 ，取BD的中点F，连接AF，EF，可得AF＝AE＝ a，EF＝ a， 由余弦定理可得cos∠AEF＝ ，可得 与 夹角的余弦值为 ，则 ，所以 . 故选：C． 【点睛】 本题考查向量的数量积的运算和性质，运用向量垂直的条件和定义，以及余弦定理的运用，属于基础题． 6．（2019·浙江丽水·高二月考）已知 ， ， 和 为空间中的4个单位向量，且 ，则 不可能等于（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【解析】 【分析】 根据n个向量的和的模不大于n个向量的模的和可推出结论. 【详解】 因为 EMBED Equation.DSMT4 而 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 因为 ， ， ， 是单位向量，且 ， 所以 不共线， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故选A. 【点睛】 本题主要考查了向量与不等式的关系，涉及向量的共线问题，属于难题. 二、多选题 7．（2020·全国高二课时练习）设 ， 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】 【分析】 由向量数量积的运算律及数量积的定义逐个判断即可. 【详解】 由数量积的性质和运算律可知AD是正确的； 而 运算后是实数， 没有这种运算，B不正确； ，C不正确. 故选：AD. 【点睛】 本题主要考查了向量数量积的运算律，属于基础题. 8．（2020·江苏高二期末）如图，在正方体 中，下列各式中运算的结果为 的有( ) A． B