23.3 相似三角形-2020-2021学年九年级数学上册尖子生同步培优题典（华东师大版）

23.3相似三角形 一．选择题（共10小题） 1．已知两个直角三角形的三边长分别为3，4，m和6，8，n，且这两个直角三角形不相似，则m+n的值为（　　） A．10+或5+2 B．15 C．10+ D．15+3 【分析】直接利用相似三角形的性质结合勾股定理分别得出符合题意的答案． 【解答】解：当3，4为直角边，6，8也为直角边时，此时两三角形相似，不合题意； 当三边分别为3，4，，和6，8，2，此时两三角形相似，不合题意舍去 当3，4为直角边，m＝5；则8为另一三角形的斜边，其直角边为：＝2， 故m+n＝5+2； 当6，8为直角边，n＝10；则4为另一三角形的斜边，其直角边为：＝， 故m+n＝10+； 故选：A． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确分类讨论是解题关键． 2．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（　　） A．16 B．17 C．24 D．25 【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可． 【解答】解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E， ∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAF＝∠F， ∴∠DAF＝∠F， ∴DF＝AD＝15， 同理BE＝AB＝10， ∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5； ∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8， 在Rt△ABG中，AG＝＝＝6， ∴AE＝2AG＝12， ∴△ABE的周长等于10+10+12＝32， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CF， ∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2， ∴△CEF的周长为16． 故选：A． 【点评】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大． 3．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E、F在AD边上，BF和CE交于点G，若EF＝AD，则图中阴影部分的面积为（　　） A．25 B．30 C．35 D．40 【分析】过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M，通过证明△EFG∽△CBG，可得GN：GM＝EF：BC＝1：2，可求GN，GM的长，由面积的和差关系可求解． 【解答】解：过点G作GN⊥AD于N，延长NG交BC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵EF＝AD， ∴EF＝BC， ∵AD∥BC，NG⊥AD， ∴△EFG∽△CBG，GM⊥BC， ∴GN：GM＝EF：BC＝1：2， 又∵MN＝AB＝6， ∴GN＝2，GM＝4， ∴S△BCG＝×10×4＝20， ∴S△EFG＝×5×2＝5，S矩形ABCD＝6×10＝60， ∴S阴影＝60﹣20﹣5＝35． 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，求出阴影部分的面积可以转化为几个规则图形的面积的和或差的关系． 4．如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是（　　） A． B．25 C．35 D．63 【分析】由EF∥BC可得出△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出S△AEF＝S△ABC，结合S四边形BCFE＝21即可得出关于S△ABC的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：∵EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴S△AEF＝S△ABC． ∵S四边形BCFE＝S△ABC﹣S△AEF＝21，即S△ABC＝21， ∴S△ABC＝25． 故选：B． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质，找出S四边形BCFE＝S△ABC是解题的关键． 5．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　） A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出CD的长，从而可以解答本题． 【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴， ∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m， ∴AC＝AB+BC＝14m， ∴， 解得，DC＝17.5， 即建筑物CD的高是17.5m， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F，过点E作EG∥AB，交BC于点G，则下列式子一定正确的是（　　） A．＝ B．＝ C．＝ D．