专题06 一元二次方程在实际应用中的最值问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题06 一元二次方程在实际应用中的最值问题 【应用呈现】 1、近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009年投入6000万元，2011年投入8640万元． （1）求2009年至2011年该县投入教育经费的年平均增长率； （2）该县预计2012年投入教育经费不低于9500万元，若继续保持前两年的平均增长率，该目标能否实现？请通过计算说明理由． 解：（1）设每年平均增长的百分率为x． 6000=8640， =1.44， ∵1+x＞0， ∴1+x=1.2， x=20%． 答：每年平均增长的百分率为20%； （2）2012年该县教育经费为8640×（1+20%）=10368（万元）＞9500万元． 故能实现目标． 2、如图，要建造一个四边形花圃ABCD，要求AD边靠墙，CD⊥AD，AD∥BC，AB∶CD＝5∶4，且三边的总长为20 m．设AB的长为5x m. (1)请求AD的长；(用含字母x的式子表示) (2)若该花圃的面积为50 m2，且周长不大于30 m，求AB的长． 　解：(1)作BH⊥AD于点H，则AH＝3x，由BC＝DH＝20－9x得AD＝20－6x　(2)由2(20－9x)＋3x＋9x≤30得x≥，由[(20－9x)＋(20－6x)]×4x＝50得3x2－8x＋5＝0，∴x1＝，x2＝1(舍去)，∴5x＝.答：AB的长为米　 【方法总结】 一、一元二次方程判别式求解 1、已知x、y为实数，且满足，，求实数m最大值与最小值。 解：由题意得 所以x、y是关于t的方程的两实数根，所以 即 解得 m的最大值是，m的最小值是－1。 2、已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根，则（m+2）（n+2）的最小值是（　　） A．7 B．11 C．12 D．16 【答案】D 【详解】 ∵m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根， ∴m+n=2t，mn=t2﹣2t+4， ∴（m+2）（n+2）=mn+2（m+n）+4=t2+2t+8=（t+1）2+7． ∵方程有两个实数根， ∴△=（﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+4）=8t﹣16≥0， ∴t≥2， ∴（t+1）2+7≥（2+1）2+7=16． 故选D． 二、配方法求最值 1、设a、b为实数，那么的最小值为_______。 【答案】-1 【解析】 当，，即时， 上式等号成立。故所求的最小值为－1。 2、将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AB=1：3，则MD+的最小值为 ． 【答案】． 【详解】 ∵AB=6，AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+==，∴当，即MD=时MD+有最小值为．故答案为：． 三、 “夹逼法”求最值 1、不等边三角形的两边上的高分别为4和12且第三边上的高为整数，那么此高的最大值可能为________。 解：设a、b、c三边上高分别为4、12、h 因为，所以 又因为，代入 得，所以 又因为，代入 得，所以 所以3<h<6，故整数h的最大值为5。 1、国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2017年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2019年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率． 解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为x，根据题意得： （1﹣x）2＝0.25， 解得：x＝0.5＝50%或x＝1.5（舍去） 答：该地区2017年底至2019年底贫困人口年平均下降的百分率为50%． 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天能售出20件，每件盈利50元．经调查发现：这种衬衫的售价每降低1元，平均每天能多售出2件，设每件衬衫降价x元． （1）降价后，每件衬衫的利润为　 　元，平均每天的销量为　 　件；（用含x的式子表示） （2）为了扩大销售，尽快滅少库存，商场决定采取降价措施，但需要平均每天盈利1600元，那么每件衬衫应降价多少元？ 解：（1）∵每件衬衫降价x元， ∴每件衬衫的利润为（50﹣x）元，销量为（20+2x）件． 故答案为：（50﹣x）；（20+2x）． （2）依题意，得：（50﹣x）（2