专题05 一元二次方程与三角形的综合-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题05 一元二次方程与三角形的综合 【专题说明】 一元二次方程是初中数学重点内容之一，常常与其他知识结合，其中一元二次方程与三角形的综合应用就是非常重要的一种，主要考查一元二次方程的根的概念、根的判别式的应用、一元二次方程的解法及与等腰三角形、直角三角形的性质等知识的综合运用． 一、一元二次方程与三角形三边关系的综合 1．三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程x2－7x＋12＝0的解，则第三边的长为(　C　) A．3　　　B．4　　　C．3或4　　　D．无法确定 2．根据一元二次方程根的定义，解答下列问题． 一个三角形两边长分别为3 cm和7 cm，第三边长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求三角形的周长． 解：由已知可得4<a<10，则a可取5，6，7，8，9.(第一步) 当a＝5时，代入a2－10a＋21，得52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根． 同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，a＝7是方程的根．(第二步) ∴三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)． 上述过程中，第一步是根据 _______________________________________________________________________ ________________________________________________________________________， 第二步应用的数学思想是______________，确定a值的大小是根据______________． 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；分类讨论思想；方程根的定义 二、 一元二次方程与直角三角形的综合 3．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2－17x＋60＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长为___13_____． 4．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，当m>0时，关于x的一元二次方程c(x2＋m)＋b(x2－m)－2ax＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：△ABC是直角三角形．理由如下： 原方程可化为(b＋c)x2－2ax＋cm－bm＝0， Δ＝4ma2－4m(c－b)(c＋b)＝4m(a2＋b2－c2)． ∵m>0，且原方程有两个相等的实数根， ∴a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2. ∴△ABC是直角三角形． 三、一元二次方程与等腰三角形的综合 5．已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5.当△ABC是等腰三角形时，求k的值． (1)证明：∵a＝1，b＝－(2k＋1)，c＝k2＋k， ∴Δ＝[－(2k＋1)]2－4(k2＋k)＝1＞0.　 ∴此方程有两个不相等的实数根． (2)解：∵△ABC的两边AB，AC的长是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两个实数根， ∴由(1)知，AB≠AC，∵△ABC的第三边BC的长为5，且△ABC是等腰三角形，[来源:学科网] ∴AB＝5或AC＝5，即x＝5是方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的一个解． 将x＝5代入方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得25－5(2k＋1)＋k2＋k＝0，解得k＝4或k＝5. 当k＝4时，原方程为x2－9x＋20＝0， 解得x1＝5，x2＝4，以5，5，4为边长能构成等腰三角形； 当k＝5时，原方程为x2－11x＋30＝0， 解得x1＝5，x2＝6，以5，5，6为边长能构成等腰三角形．[来源:学*科*网] 综上，k的值为4或5. 四、 一元二次方程与动态几何的综合 6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． (1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积为4 cm2? (2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度为5 cm? (3)在(1)中，△PBQ的面积能否为7 cm2？并说明理由．【京师导学号：93602018】 (第6题) 解：设A，P运动的时间为x s，则由题意知AP＝x cm，BP＝(5－x) cm，BQ＝2x cm，CQ＝(7－2x) cm. (1)S△PBQ＝·PB·BQ＝×(5－x)×2x＝4. 解得x1＝1，x2＝4. 当x＝1时，5－1＞0，7－2×1＞0，满足题意； 当x＝4时，5－4＞0，7－2×4＜0，不满足题意，舍去． 故1 s后，△PBQ的面积为4 cm2. (2)由题意知PQ2＝PB2＋BQ2＝(5－x)2＋(2x)