专题03 一元二次方程根与系数关系的四种用法-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题03 一元二次方程根与系数关系的四种用法 【专题说明】 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0. 一、利用根与系数的关系求代数式的值 1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值． (1)(x1－3)(x2－3)； (2)＋； (3)x1－x2. [来源:学。科。网Z。X。X。K] 二、利用根与系数的关系构造一元二次方程 2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数． [来源:学科网] 三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性 4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． [来源:学科网] 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题03 一元二次方程根与系数关系的四种用法 【专题说明】 利用一元二次方程的根与系数的关系可以不解方程，仅通过系数就反映出方程两根的特征．在实数范围内运用一元二次方程的根与系数的关系时，必须注意Δ≥0这个前提，而应用判别式Δ的前提是二次项系数不为0.因此，解题时要注意分析题目中有没有隐含条件Δ≥0和a≠0. 一、利用根与系数的关系求代数式的值 1．设方程4x2－7x－3＝0的两根为x1，x2，不解方程求下列各式的值． (1)(x1－3)(x2－3)； (2)＋； (3)x1－x2. 解：根据一元二次方程根与系数的关系，有 x1＋x2＝，x1x2＝－. (1)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝－－3×＋9＝3. (2)＋＝ ＝ ＝ ＝ ＝. (3)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－4×＝， ∴x1－x2＝±＝±. 二、利用根与系数的关系构造一元二次方程 2．构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5x2＋2x－3＝0各根的负倒数． 解：设方程5x2＋2x－3＝0的两根为x1，x2，[来源:学科网ZXXK] 则x1＋x2＝－，x1x2＝－. 设所求方程为y2＋py＋q＝0，其两根为y1，y2， 令y1＝－，y2＝－. ∴p＝－(y1＋y2)＝－＝＋＝＝， q＝y1y2＝＝＝－. ∴所求的方程为y2＋y－＝0，即3y2＋2y－5＝0. 三、利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 3．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足5x1＋2x2＝2，求实数m的值． 解：(1)∵方程x2－4x＋m＝0有实数根， ∴Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4m≥0， ∴m≤4. (2)∵方程x2－4x＋m＝0的两实数根为x1，x2， ∴x1＋x2＝4，① 又∵5x1＋2x2＝2，② 联立①②解方程组得 ∴m＝x1·x2＝－2×6＝－12. 四、巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性 4．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根，是否存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由如下： ∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)＝－16k≥0， ∴k＜0. ∵x1，x2是方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根， ∴x1＋x2＝1，x1x2＝. ∴(2x1－x2)(x1－2x2)＝2(x1＋x2)2－9x1x2＝－. 又∵(2x1－x2)(x1－2x2)＝－， ∴－＝－.∴k＝. 经检验，k＝是该分式方程的根． 又∵k<0，∴不存在实数k，使(2x1－x2)(x1－2x2)＝－成立． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$