专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法 【专题说明】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围． 一、 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根． 解：∵x2－2x－m＝0没有实数根， ∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1. 对于方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0， Δ2＝(2m)2－4·m(m＋1)＝－4m>4， ∴方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有两个不相等的实数根． 2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0. (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m的值． 解：(1)Δ＝b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4m2－4m2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． (2)将x＝3代入方程中，得 9＋2m×3＋m2－1＝0，即m2＋6m＋9＝1，∴(m＋3)2＝1.∴m＋3＝±1. ∴m1＝－2，m2＝－4. 二、利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0， (1)证明：不论m为何值，方程总有实数根； (2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． (1)证明：Δ＝[－(m＋2)]2－8m＝m2－4m＋4＝(m－2)2. ∵不论m为何值，(m－2)2≥0， 即Δ≥0. ∴不论m为何值，方程总有实数根． (2)解：解关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，得 x＝＝. ∴x1＝，x2＝1. ∵方程的两个根都是正整数， ∴是正整数，∴m＝1或m＝2. 又∵方程的两个根不相等， ∴m≠2，∴m＝1. 三、利用根的判别式求代数式的值 4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求的值． 解：∵关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m－1)2－4×1×4＝0， 即2m－1＝±4. ∴m＝或m＝－. 当m＝时，＝＝； 当m＝－时，＝＝－. 四、利用根的判别式解与函数综合问题 5．y＝x＋1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的根的情况为(　　) A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 A　点拨：∵y＝x＋1是关于x的一次函数， ∴≠0. ∴k－1>0，解得k>1. 又一元二次方程kx2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4k， ∴Δ<0. ∴一元二次方程kx2＋2x＋1＝0无实数根，故选A. 五、利用根的判别式确定三角形的形状 6．已知a，b，c是三角形的三边长，且关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．[来源:Zxxk.Com] 解：∵方程(a＋c)x2＋bx＋＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2－4(a＋c)·＝b2－(a2－c2)＝0. 即b2＋c2＝a2， ∴此三角形是直角三角形． 六、利用根的判别式探求菱形条件 7．已知▱ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2－mx＋－＝0的两个根．[来源:学科网] (1)m为何值时，▱ABCD是菱形？并求出菱形的边长． (2)若AB的长为2，求▱ABCD的周长是多少？ 解：(1)∵▱ABCD是菱形， ∴AB＝AD.∴Δ＝0， 即m2－4＝m2－2m＋1＝0，∴m＝1. 此时原方程为x2－x＋＝0， ∴x1＝x2＝， ∴当m＝1时，▱ABCD是菱形，菱形ABCD的边长为. (2)∵AB＝2，∴将x＝2代入原方程得4－2m＋－＝0， 解得m＝，　 故原方程为x2－x＋1＝0， 解得x1＝2，x2＝，∴AD＝. 故▱ABCD的周长为2×＝5. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 专题02 一元二次方程根的判别式的六种用法 【专题说明】 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围． 一、 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况 1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根． 2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0. (1)不解方程，判别方程根的情况； (2)若方程有一个根为3，求m的值． 二、利用根的判别式求字母的值或取值范围 3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2