13.4 课题学习 最短路径问题-2020-2021学年八年级数学上册历年全国中考真题课时汇编训练（人教版）

13.4 课题学习 最短路径问题 1. （5分）（2020•新疆兵团15/23）如图，在△ 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值为 ． 2.（3分）（2014•贵港11/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 解 析 ●（5分）（2020•新疆兵团15/23）如图，在△ 中， ， ， ，若 是 边上的动点，则 的最小值为　6　． 【考点】轴对称 最短路线问题 【分析】作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于 ，依据 与 关于 对称，可得 ，进而得出 ，当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于 的长，依据 的最小值为3，即可得到 的最小值为6． 【解答】解：如图所示，作点 关于 的对称点 ，连接 ， ，过 作 于 ， ∵△ 中， ， ， ， ， ， ， ， △CDE中， ，即 ， 与 关于 对称， ， ， 当 ， ， 在同一直线上时， 的最小值等于 的长， 此时，Rt△ 中， ， 的最小值为3， 即 的最小值为6， 故答案为：6． 【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． ●（3分）（2014•贵港11/26）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A． B．4 C． D．5 【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC= AB•CM= AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB= = =10． ∵S△ABC= AB•CM= AC•BC， ∴CM= = = ， 即PC+PQ的最小值为