考点01 探索勾股定理-2020-2021学年八年级数学上学期高频考点专题突破（苏科版）

考点1.探索勾股定理 知识框架 基础知识点： 1.1为什么勾股定理？ 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一。是初等几何中的一个基本定理。那么大家知道多少勾股定理的别称呢?我可以告诉大家，有.毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理、驴桥定理和埃及三角形等。 这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国(希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。 1）勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。 2）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作《周髀算经》 （公元前1000年左右的西周时期）就有关于勾股定理的记载，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5,正是勾股定理的一一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。 1.2认识勾股定理 1）如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2 注：a.仅在直角三角形中存在勾股定理；b.由于直角三角形的斜边最长，故运用勾股定理时，一定要抓住直角三角形最长边（斜边）的平方等于两短边（两直角边）的平方和，避免出现这样的错误 1．（2020·江苏省南京市初二期中）下列说法中正确的是（ ） A．已知，，是三角形的三边长，则 B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C．在中，若，则 D．在中，若，则 2．（2020·河南省初二期末）如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为( ) A．3cm B．cm C．cm D．4cm 3．（2020·吉林磐石初二期中）已知：在中，，，，于． （1）求的长；（2）求的长；（3）求的长． 4．（2020·辽宁昌图初二期中）有一块边长为24米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____. [来源:Zxxk.Com] 5．（2020·辽宁省初二期中）如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　） A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm 6．（2020·湖南初二月考）如图，在两面墙之间有一底端在点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在点.当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在点，已知梯子长，点到地面的垂直距离，两墙的距离长.求点到地面的垂直距离. 7．（2020·黑龙江省桦南实验中学初二期中）△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 A．42 B．32 C．42或32 D．37或33 1.3勾股定理的证明 据不完全统计，勾股定理的证明方法已经多达400多种了。由于篇幅有限，我们就重点介绍最具代表性的“勾股圆方图”的证法。 在《九章算术》一书中(约在公元50至100年间) ，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（后人也把它称为“赵爽弦图”），用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明(下图)。（证明过程见例1） 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。尤其是其中体现出来的“形数统一” 的思想方法，更具有科学创新的重大意义。以后的数学家大多继承了这一风格并且有发展,只是具体图形的分合移补略有不同而已。 1．（2020·江苏无锡初二期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×ab＋(a－b)2，所以4×ab＋(a－b)2=c2，即a2＋b2=c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2=c2．图②为勾股定理的另一种比较简单的证法，请你利用图②推导勾股定理． 图 图