专项训练3 证明角平分线的方法-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练3 证明角平分线的方法 ( 方法1 ) 角平分线的性质解决线段问题 【例题】 1．（2020·西工大附中分校月考）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【例题分析】 【答案】D 【解析】 解：过点作于， 是的角平分线，， ， ， 解得． 故选：． 【举一反三】 2．（2020·陕西咸阳·天王学校月考）如图，在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，AD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为（ ） A．17 B．18 C．20 D．25 【答案】C 【解析】 解：∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ED=CD， 在Rt△ADE和△RtADC中， ， ∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL）， ∴AC=AE， ∴△BDE的周长=BE+BD+ED=AB-AC+BC=（13-5）+12=20． 故选：C． 3．（2019·深圳市明德外语实验学校期中）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF. （1）求证：CF=EB． （2）若AF=2,EB=1,求AB的长. 【解析】 （1）证明：∵ AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴ DC=DE， ∵ BD=DF， ∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL）， ∴CF=EB； （2）由（1）知CF=EB=1， ∴AC=AF+FC=3， 又∵∠C=∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，AD=AD， ∴△ACD≌△AED(AAS) ∴AC=AE=3， ∴AB=AE+EB=3+1=4． ( 方法2 ) 角平分线的性质证明角之间的问题 【例题】 4．（2020·陕西师大附中一模）如图，点A、C为∠FBE边上的两点，AD∥BE，AC平分∠BAD，若∠FAD＝45°，则∠ACE＝（　　） A．45° B．67.5° C．112.5° D．135° 【例题分析】 【答案】C 【解析】 解：∵∠FAD＝45°， ∴∠BAD＝180°-45°＝135°． ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝＝67.5°． ∵AD∥BE， ∴∠ACB＝∠DAC＝67.5°． ∴∠ACE＝180°-67.5°＝112.5°． 故选：C． 【举一反三】 5．（2019·江苏宜兴期中）如图，在△ABC中，∠1＝110°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC，求∠4的度数． 【答案】∠4＝40° 【解析】 解：∵∠1＝110°，∠C＝80°， ∴， ∵∠2＝∠3， ∴∠2＝10°， ∴， ∴， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠4＝∠ABE+∠2＝30°+10°＝40°． 6．（2018·上海松江期中）如图，，平分，，，求的度数． 【答案】 【解析】 解：因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为， 所以 因为平分， 所以 因为 所以 ( 方法3 ) 角平分线的判定应用 【例题】 7．（2019·天津和平·）已知如图，过点 做且 求证 若已知平分，求的度数 【例题分析】 【解析】 （1）∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ （2）∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：105° 【举一反三】 8．（2020·辽宁鞍山一模）如图，在四边形中，，点E，F分别在，上，，，求证：． 【解析】 解：连接AC， ∵AE=AF，CE=CF，AC=AC， ∴△ACE≌△ACF（SSS）， ∴∠CAE=∠CAF， ∵∠B=∠D=90°， ∴CB=CD． 【能力提升】 1．（2020·云南昆明试）如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，若∠B＝40°，∠C＝60°，则∠ADE＝_____°． 【答案】50 【解析】 解：∵∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC＝40°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝50°， 故答案是：50． 2．（2020·湖南茶陵期末）如图，，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD=8，则点P到BC的距离是_________． 【答案】4 【解析】 如图，过点P作于点Q，则PQ即为所求， ，， ， BP和CP分别平分和， ， ， ， 解得， 即点P到BC的距离是4， 故答案为：4． 3．（2020·黑龙江省红光农场学校期末）如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________ 【答案】90° 【解析】 试题分析：根据点P到AB、BC、CD的距离相等可得：BP平分∠ABC，