专项训练2 巧构全等三角形的3种方法-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练2 巧构全等三角形的3种方法 【技巧剖析】 考生在证明三角形全等时，往往会遇到不能直接应用所学的5种判定公式，为此需要考虑添加辅助线。巧构三角形全等，以下4种方法在中考中经常考到。1.巧用“截长补短法”构造全等三角形2.巧用“倍长中线法”构造全等三角形3.巧用“延长法”构造全等三角形. “截长补短法”证明一条线段的长度等于两条线段的长度和（差）时，常用截长补短法.截长：即在长线段上截取一段，使之等于其中一条短线段长，然后证明剩下的线段长等于另一短线段长；补短：即延长短线段，使延长部分等于另一条短线段长，在证明延长后的线段长等于长线段的长。 “倍长中线”法 在三角形中，如果证明一条线段与另一条线段的数量（相等，倍、分）关系，且存在中线时，可将该三角形的中线延长一倍，构造全等三角形，利用对应边相等去寻找求线段间的数量关系。简记：见中线，可倍长 ( 方法1 ) 巧用“截长补短法”构造全等三角形 【例题】 1．（2019·山东期中）现阅读下面的材料，然后解答问题： 截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段． 请用截长法解决问题（1） （1）已知：如图1等腰直角三角形中，，是角平分线，交边于点．求证：． 请用补短法解决问题（2） （2）如图2，已知，如图2，在中，，是的角平分线．求证：． 【例题分析】 （1）证明：如图1，在上截取，连接， ∵是角平分线， ∴ 在和中 ∴ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． （2）如图2，延长到，使，连接， ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了截长法和补短法两种方法证明线段和的问题，三角形全等的判定和性质的应用，角平分线的性质应用，等量代换的应用，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【举一反三】 2．（2019·大连市第八十中学期中）数学课上，小白遇到这样一个问题： 如图1，在等腰中，，，，求证； 在此问题的基础上，老师补充： 过点作于点交于点，过作交于点，交于点，试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 小白通过研究发现，与有某种数量关系； 小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论． 阅读上面材料，请回答下面问题： （1）求证； （2）猜想与的数量关系，并证明； （3）探究线段，，之间的数量关系，并证明． ( 方法2 ) 巧用“倍长中线法”构造全等三角形 【例题】 3．（2019·山西一模）阅读材料，解答下列问题． 如图1，已知△ABC中，AD 为中线．延长AD至点E，使 DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． 【例题分析】 如图，延长至点，使得，并连结， ∵是三角形的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即． 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形． 【举一反三】 4．（2020·江苏海安期中）先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE=AD．在△ABD和△ECD中，AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB=CE，AB∥CE等结论． 在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题． 解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF． ( 方法3 ) 巧用“延长法”构造全等三角形 【例题】 5.（2020·上海期中）在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明． 【例题分析】 BE＋