专题06 不等式的求解（1）-2020-2021学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教版2020）

专题06 不等式的求解（1） 知识梳理 1.一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母； （2）去括号； （3）移项； （4）化成（或等）的形式（其中）； （5）两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集． 2.解一元一次不等式组的一般步骤 （1）求出不等式组中各个不等式的解集； （2）在数轴上表示各个不等式的解集； （3）确定各个不等式解集的公共部分，就得到这个不等式组的解集． 3.一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． (2)求出相应的一元二次方程的根． (3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 4．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系 二次函数 （）的图像 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 R 对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表 ： 方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决 注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。 注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。 5.一元二次方程根的分布 设方程的不等两根为且，相应的二次函数为，方程的根即为二次函数图象与轴的交点，它们的简单分布情况见下表 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 综合结论（韦达定理） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） —————— 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在内有以下特殊情况： 若或，则此时不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为或，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间内，从而可以求出参数的值．如方程在区间上有一根，因为，所以，另一根为，由得即为所求； 方程有且只有一根，且这个根在区间内，即，此时由可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程有且一根在区间内，求的取值范围．分析：①由即得出；②由即得出或，当时，根，即满足题意；当时，根，故不满足题意；综上分析，得出或 例题解析 一、　一元一次不等式组的解法 例1. 解下列不等式组： (1) (2) 【巩固训练】 1. 已知关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 2．不等式组的解集在数轴上表示为(　　) 二、一元二次不等式的解法 【例1】求下列不等式的解集： （1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） . 【例2】解不等式组： 3x-7x-100, ① 2x-5x+20 ② 【例3】解关于的不等式。 【例4】关于的不等式组的整数解的集合为，求实数的取值范围。 【例5】已知一个一元二次不等式的解集为. （1） 若关于的一元二次不等式为，求、的值。 （2） 若关于的一元二次不等式为，求关于的一元二次不等式的解集。 【例6】关于x的不等式的解集为，其中，求不等式的解集. 【例7】在R上定义运算⊙：x⊙y＝x(2－y)，若不等式(x＋m)⊙x<1的解是全体实数，则实数m的取值范围是________． 【例8】不等式的解是全体实数，求实数的取值范围． 【例9】已知关于的不等式