考点02 全等三角形辅助线总结-2020-2021学年八年级数学上学期高频考点专题突破（苏科版）

考点2. 全等三角形辅助线总结 知识框架 [来源:学.科.网Z.X.X.K] 分类讲解 方法1 .关于中点的辅助线 1).已知中点 （1）中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。 目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。 1．（2020·北京朝阳初二期末）阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB， 再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE， 再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． 完成下面问题：（1）①思路一的辅助线的作法是：　 　；②思路二的辅助线的作法是：　 　． （2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）． 【答案】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；②作BG＝BF交AD的延长线于点G；（2）详见解析 【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． ②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论． （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论． 【解析】解：（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下： ∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，在△ADC和△GDB中，， ∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA， ∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF． 故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG； ②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②． 理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG， ∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF， 在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF； 故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G； （2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD， 在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG， ∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG， ∴BG＝BF，∴AC＝BF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题． 2．（2019·山东周村初三一模）如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__． 【答案】； 【分析】延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算． 【解析】如图：延长至使，连接 在和中： ∴∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∴ 【点睛】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键． 3．（2019·全国初一课时练习）如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，．求证：∥． 【答案】见解析 【分析】延长到，使，连结，易证≌，可得，，然后根据及可得，问题得证. 【解析】延长到，使，连结，利用易证≌，∴，． 又，∴，∴，∴， ∵平分，∴，∴，∴∥． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题关键. 4．（2019·全国初三专题练习）如图所示，在中，为中线，，求的度数． [来源:学科网ZXXK] 【答案】45° 【分析】延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数． 【解析】解：延长AD至E，使，连结， ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC∴，∴EC=AB，， ∵AB=2AD，∴AB=AE=EC∴△AEC是等腰直角三角形，∴∠DAC=45°.故答案为45°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角