专项训练3 直角三角形的三种判定方法-2020-2021学年八年级数学上册考点专项训练及单元检测（人教版）

专项训练3 直角三角形的三种判定技巧 ( 方法1 ) 直角三角形的判定——三角形的两个角互余 【举一反三】 2．（2020·南京）如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【解析】 （1）∵在中， 在中， ，即 ； （2），理由如下： 由题（1）知， . 3．（2020·济南）如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB上一点，CE交AD于点M，且∠DCM＝∠MAE，求证△ACE是直角三角形. 【解析】 ∵AD是BC边上的高， ∴∠DMC+∠DCM=90°. ∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE， ∴∠AME+∠MAE=90°， ∴∠MEA=90°， 即△ACE是直角三角形. 4．（2019·无锡市羊尖中学月考）在△ABC中，如图∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，点E在BC上，DE∥AB，点F在BC上，连结AF，∠C＝36°． （1）求∠BDE的度数； （2）若∠BAF∶∠CAF＝2∶3，求证：AF⊥BC． 【解析】 （1）解：∵∠BAC＝90°，∠C＝36°， ∴∠ABC＝54°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ABC=27°， ∵DE∥AB， ∴∠BDE=∠ABD=27°； （2）证明：∵∠BAF∶∠CAF＝2∶3， ∴∠CAF=∠BAC＝×90°=54°， ∵∠C=36°， ∴∠CAF+∠C=54°+36°=90°， 即∠AFC=90°， ∴AF⊥BC． ( 方法2 ) 直角三角形的性质 【举一反三】 6．（2020·石家庄月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E． （1）求∠CBE的度数； （2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【解析】 （1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=50°， ∴∠CBD=130°． ∵BE是∠CBD的平分线， ∴∠CBE=∠CBD=65°； （2）∵∠ACB=90°，∠CBE=65°， ∴∠CEB=90°﹣65°=25°． ∵DF∥BE， ∴∠F=∠CEB=25°． 7．（2020·长沙期中）如图，在中，，，是的高，平分交于，求的度数. 【解析】 解：∵，， ∴， 又平分，是的高， ∴，∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°， ∴∠DAE=60°-40°=20°． 8．（2020·吉林长春期末）如图所示，在△ABC中，已知AD是角平分线，∠B＝62°，∠C＝58°． （1）求∠ADB的度数； （2）若DE⊥AC于点E，求∠ADE的度数． 【解析】 （1）在△ABC中，∵∠B=62°，∠C=58°， ∴ ∠BAC=60°． 又∵ AD是角平分线， ∴∠BAD=∠CAD=30°． 在△ ABD中，∵ ∠ B=62°，∠ BAD=30°， ∴ ∠ ADB=88°． （2）在△ADE中，∵∠CAD=30°，∠AED=90°， ∴∠ADE=60°． ( 方法3 ) 三角形中的折叠问题 【举一反三】 10．（2019·广东宝安期末）如图，在ABC中，∠BAC＝90°，将ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处，若∠ADE＝2∠DFC，∠DFC＝20°，则∠C＝_____． 【解析】 解：∵∠ADE＝2∠DFC，∠DFC＝20°， ∴∠ADE＝40°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠AED＝50°， ∵将△ABC沿EF折叠，使点B落在AC边上的点D处， ∴∠BEF＝∠DEF＝（180°﹣50°）＝65°，∠BFE＝∠DFE＝（180°﹣20°）＝80°， ∴∠B＝180°﹣65°﹣80°＝35°， ∴∠C＝90°﹣35°＝55°， 故答案为：55°． 【能力提升】 1．（2020·广西北海期末）如图，在四边形中，平分交于点，，垂足为点，若，则 （ ） A．40° B．50° C．80° D．100° 【答案】A 【解析】 解：由AF⊥DE可得∠AFD=90°， ∴∠ADF=90°-∠DAF=90°-50°=40°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC=∠ADF=40°， 故选：A． 2．（2020·山东莒南期末）如图，△ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF，②∠ABF=∠EFB，③AC∥BE，④∠E=∠ABE，正确的是( ) A．①②③④ B．①② C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【解析】 解：∵AH⊥BC，EF∥BC， ∴①AH⊥EF正确；