辅助线专训01 全等三角形入门辅助线做法-倍长中线-2020-2021学年八年级数学上册计算力提升训练（苏科版）

辅助线专训01 全等三角形入门辅助线做法-倍长中线 1．如图所示，在 中， 为中线， ，求 的度数． 【答案】45° 【分析】延长AD至E，使 ，连结 ，则 ，根据全等三角形的性质得EC=AB， ，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数． 【解析】解：延长AD至E，使 ，连结 ， ∵BD=CD，∠ADB=∠EDC ∴ ， ∴EC=AB， ， ∵AB=2AD， ∴AB=AE=EC ∴△AEC是等腰直角三角形， ∴∠DAC=45°. 故答案为45°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形. 2．如图所示，在 中， 交 于点 ，点 是 中点， 交 的延长线于点 ，交 于点 ，若 ，求证： 为 的平分线. 【答案】见解析 【分析】延长FE，截取EH=EG，连接CH，可证△BEG≌△CEH，即可求得∠F=∠FGA，即可求得∠CAD=∠BAD，即可解题． 【解析】证明：延长FE，截取EH=EG，连接CH， ∵E是BC中点， ∴BE=CE， ∴∠BEG=∠CEH， 在△BEG和△CEH中， ，∴△BEG≌△CEH（SAS）， ∴∠BGE=∠H， ∴∠BGE=∠FGA=∠H， ∴BG=CH， ∵CF=BG， ∴CH=CF， ∴∠F=∠H=∠FGA， ∵EF∥AD， ∴∠F=∠CAD，∠BAD=∠FGA， ∴∠CAD=∠BAD， ∴AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BEG≌△CEH是解题的关键． 3．（2020·全国初二课时练习）如图， 中， 为中线，E为 上一点， 交于点F，且 ．求证： ． 【答案】见解析 【分析】根据题意，先用“倍长中线”的方法去做辅助线构造全等三角形，证明AB=CG，再利用等腰三角形的性质和判定去证明CF=CG，最后得到AB=CF． 【解析】如图，延长 到G使 ，连接 ． ∵ 为中线， ∴ ．又∵ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，∴ ． ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，以及利用“倍长中线”的方法构造全等三角形，关键在于这个辅助线的构造，把两个不相关的边通过第三个边证明相等． 4．如图，已知： ， ，AE是 的中线，求证： ． 【答案】见解析 【分析】延长AE至F，使EF =AE，连接BF，于是证得△AED≌△FEB，根据全等三角形的性质得到BF=DA，∠FBE=∠ADE，推出∠ABF=∠ABD+∠ADB=∠ABD+∠BAD=∠ADC，证得△ABF≌△CDA，于是得到AC=AF，等量代换即可得到结论． 【解析】延长AE至F，使EF =AE，连接BF． 在 与 中， ， ， ， ， ， ， ． 在 与 中， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．已知：AD是的中线，AE=EF．求证：AC=BF． 【答案】见解析. 【分析】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，再根据等腰三角形的性质证明即可． 【解析】证明：延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中，， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC，即AC＝BF． 【点睛】本题考查了三角形的中线，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 6．如图所示， 中， 为 的中点， ，求 的取值范围． 【答案】 【分析】延长 至 ，使 ，连结 ，证明 ，根据全等三角形的性质可得AC=EB，继而在 中根据三角形三边关系即可求得答案. 【解析】延长 至 ，使 ，连结 . ， ， ， . 在 中， ， ， 即 . 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确添加辅助线是解题的关键. 7．阅读下面材料： 数学课上，老师给出了如下问题： 如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF． 经过讨论，同学们得到以下两种思路： 思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论． 思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进