四年级下册数学试题-春季培优：抽屉原理、容斥原理（练习含答案）全国通用

( 抽屉原理： 如果把 n ＋ 1 个苹果任意放入 n 个抽屉，那么必定有一个抽屉里至少有两个苹果。这 个现象就是我们所说的抽屉原理。 抽屉原理 1 ：如果把多于 n 件物品任意放到 n 个抽屉中， ) ( 那么必有 ) ( 个抽屉至少有 2 ) ( 件物品。 ) ( 1 ) ( 抽 屉 ) ( 原理、容斥原理 ) ( 抽屉原理 ) ( ： ) ( 如果把多于 m × n 件物品任意放到 n 个抽屉 ) ( 2 ) ( 中，那么必有 1 个抽屉至少有 m ＋ 1 件物品。 ) ( 最不利原则：所谓“最不利原则”是指完成某一项工 ) ( 作先从最不利的情况下考虑，然后研究任意情况下可能的结果。由此得到充分 可靠的结论。 ) ( 总结： 类型 2 ：证明题， 苹果除以抽屉，有余数，商加 1 ) ( 总结： 抽屉原理两类比较重要的题目： 类型 1 ：求苹果数量， 先倒霉，再加 1 ) ( 全班有 35 个人，可以保证同一个属相至少有几 个人？ 苹果除以抽屉： 35 ÷ 12 ＝ 2 …… 11 ) ( 保证全班有三个人属相相同，班上至少要有几 个人？ 先倒霉：全班每种属相都两个人， 12 × 2 ＝ 24 再加 1 ： 24 ＋ 1 ＝ 25 人 ) ( 有余数，商加 1 ： 2 ＋ 1 ＝ 3 人 ) ( 1 ) ( 【例 1 】同学们参加选代表的投票，要在 A 、 B 、 C 、 D ， 4 名同学中选出 2 人参加学校的雏鹰小队活动。 每位同学能投且都投 2 票，至少应有多少同学参 加投票选举，才能保证至少有 10 个人投了相同 2 名候选人的票，但不能保证有 15 个人投了相同 2 名候选人的票？ ) ( 【例 2 】 有 20 个同学做大红花，规定每人要制作 10 朵， 每天至少制作 3 朵。至少有 个同学制作的方案相同。 ) ( 【例 3 】 现有一个袋子，里 面装有 8 种不同颜色的玻璃球， 每种颜色的玻璃球各有 50 个，则在这个袋子中至 少要取出 个玻璃球，才 能保证取出的球至少有三种颜色，且有三种颜色的球都至少有 10 个。 ) ( 容斥原理：在计数时，经常会碰到重叠部分。为了使重叠部分不被重复计算，我们采用一种新的计数方法： 先不考虑重叠的部分，把包 含于某种情况的所有对象的数目计算出来， 然后再把计数时重复计算的数目排斥出去， 使得计算的结果无遗漏，无重复，这种计 ) ( 数方法就叫容斥原理。 通常我们的容斥原 理用韦恩图表示。 ) ( 2 ) ( 两个集合： A 表示小圆部分， B 表示大圆部分， C 表示大圆与小圆的公共部分，记为： A ∩ B ，即 阴影面积。 A ∪ B ＝ A ＋ B － A ∩ B ) ( 三个集合：图中小圆表示 A 的元素的个数，中圆表示 B 的元素的个数，大圆表示 C 的元素的个数。 A ∪ B ∪ C ＝ A ＋ B ＋ C － A ∩ B － B ∩ C － A ∩ C ＋ ) ( A ∩ B ∩ C ) ( A ∩ B ) ( C ∩ A ) ( B ∩ C ) ( A ∩ B ∩ C ) ( 【例 4 】 ( 两元容斥 ) 50 名同学面向老师站成一行。老师先让大家从左至右按 1 、 2 、 3 … 49 、 50 依次报数；再让报数是 4 的倍数的同学向后转，接着又让报数是 6 的倍数的同学 向后转。问：现在面向老师的同学还有多少名？ ) ( 【例 5 】 ( 三元容斥 ) 学而思组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行，参加围棋比赛的有 42 人，参加中 国象棋比赛的有 55 人，参加国际象棋比赛的有 33 人， 同时参加了围棋和中国象棋比赛的有 18 人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的有 10 人，同时参加了中 ) ( 国象棋和国际象棋比赛的有 9 人，参加棋类比赛的 共有 98 人，问三项比赛都参加的有几人？ ) ( 3 ) ( 【例 6 】 ( 至多与至少 ) 一个班有若干个学生，其中会游泳的有 30 人，会打乒乓的有 27 人，会下象棋的有 24 人，三样都会 的有 1 人，那么只会两样的至多有几人？ ) ( 4 ) ( 测试题 1 ．有 5 个小朋友，没人都从装有许多黑白围棋子的布袋中任意摸出 3 枚棋子。请你证明，这 5 个人中至少有两个小朋友摸出的棋子的颜色的配组是一样的。 ) ( 2 ．参加运动会的某代表队有 16 人取得前三名，共得奖牌 40 枚。得奖的都是个人项目，那么得奖牌最多的运动员至少有多少枚？ ) ( 3 ． (2005 年 3 月第五届 “ 中环杯 ” 小学生数学思维能力训练活动四年级决赛第一 (9) 题 ) 一只布袋里有红、白、黄、绿、蓝五种颜色大