【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第11讲 构造论证 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第11讲 构造论证 六年级 秋季 知识点 1、 构造论证（六上） 1、掌握最佳安排和选择方案的组合问题． 2、利用基本染色去解决相关图论问题． 3、常见问题：天平秤物问题，比赛场数问题，数字列阵问题，生活中的趣题． 4、论证常用方法：奇偶分析、整除分析、染色分析、极端分析逐步调整． 备注 课堂例题 1、 填数类问题[来源:Zxxk.Com] 1、（1）把1，2，3，……，8，9按合适的顺序填在图1第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数． （2）能否将1，2，3，……，10，11按合适的顺序填在图2第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数之和都是平方数？答：__________（“能”或“不能”）． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 图2 【答案】 （1）从左至右填入的数依次是8，2，6，5，4，3，9，1，7（2）不能 【解析】 （1）先将每个空格可能填入的数写出来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3、8 2、7 1、6 5 4 3 2、9 1、8 7 9下面的7说明2下面只能是2，那么7下面只能是9，依此类推，即可轻松填出，如下表． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2 6 5 4 3 9 1 7 （2）先将每个空格可能填入的数写出来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3、8 2、7 1、6 5 4、11 3、10 2、9 1、8 7 6 5 很明显，4和11的下面都只能填5，所以不可能填出符合题意的情况． 2、（1）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为平方数？ （2）能否将1至15排成一行，使得任意相邻两数之和都为质数？ 【答案】 （1）能．下面的排法满足要求：9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8 （2）能．下面的排法满足要求：15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，1 【解析】 （1）先将每个数相邻的位置上能填的数写出来 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 8 15 7 14 1 6 13 5 12 4 11 3 10 2 9 1 7 6 15 5 14 4 13 3 12 2 11 1 10 很明显，8和9相邻的位置上能填的数都是唯一的，说明8和9只能分别放在两边，然后左右开弓，很容易写出满足要求的情况，为9，7，2，14，11，5，4，12，13，3，6，10，15，1，8． （2）考虑到任意相邻两数之和都要是质数，且最小的和是，那么能组成的所有质数一定是奇数．而两个数一定是一奇一偶和才是奇数，可知这一列数一定是奇偶相间排列，抓住这一点就可以很容易的得出答案，一种情况如15，4，13，6，11，8，9，10，7，12，5，14，3，2，1． 3、能否将1，2，3，……，9，10排成一行， （1）使得任意相邻三个数之和都不大于16？答：__________（“能”或“不能”） （2）能否使得任意相邻三个数之和都不大于15？答：__________（“能”或“不能”） 【答案】 能，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7；不能 【解析】 （1）能，注意在大数的旁边放小数即可，其中一种排法是10，5，1，9，4，3，8，2，6，7； （2）不能，假设可以排列出符合要求的十个数依次为到，则、、，而这十个数之和为55，所以；同样道理可得，显然无法满足要求． 4、能否将1、2、3、…、6、7排成一圈，使得任意相邻三个数之和都不大于13？ 【答案】 不能 【解析】 假设能填出，设7个数依次为a、b、c、d、e、f、g，则，，故．同理，每个数均至少为2，矛盾，假设不成立． 2、 加减乘除操作题 5、有3堆石子，每次可以从这三堆中同时拿走相同数目的石子（每次这个数目可以改变），也可以由一堆中取一半石子放入另外任一堆石子中．请问： （1）如果开始时，3堆石子的数目分别是34，55，82，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？ （2）如果开始时，3堆石子的数目分别是80，60，50，按上述操作，能否把3堆石子都拿光？ 如果可以，请设计一种取石子的方案；如果不可以，请说明理由． 【答案】 （1）能（2）不能 【解析】 （1）先想办法让石子数尽可能快的减少，然后再注意调整．（34，55，82）→（0，21，48）→ （24，21，24）→（4，1，4）→（4，3，2）→（2，1，0）→（1，1，1）→（0，0，0）． （2）注意到每次操作后都不改变总石子数除以3的余数，而除以3余1，所以不可能变到（0，0，0）． 6、黑板上写着3个数8，18，28，老师现在请一些同学上黑板对这3个数进行操作．进行一次操作是指：把3个