【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第08讲 数字谜综合 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第8讲 数字谜综合 六年级 秋季 [来源:Zxxk.Com] 知识点 1、 数字谜综合二（六上） 备注 课堂例题 1、 单位分数的分拆 1、把表示成两个自然数的倒数之和，请给出所有的答案． 【答案】 【解析】 设，则，变形得．而，故、或，进而共3种． 2、把拆成三个单位分数的和，请给出2种拆法． 【答案】 【解析】 先将拆成两个单位分数之和，再将其中一个进一步分拆．例如，，等． 3、求方程的所有正整数解． 【答案】 ，，， 【解析】 显然，因此；等式两边同时乘上，得； 整理得，将写成两个数的乘积，有5种不同的写法： ，每种方法对应了一个二元一次方程： ，，，，； 每个二元一次方程的解分别是： ，，，，； 其中不合题意，舍去． 4、在算式中，a，b，c分别代表三个不同的自然数，这三个数的和可能是__________． 【答案】 14 【解析】 若，则；因此，； 若，则，因此3或4； 若，则，；若，则，，不是整除． 综上，，，，． 2、 与数字和相关问题 5、在竖式中的方框内分别填入0到9这10个数字中的9个，使得竖式成立． □ □ □ □ □ + □ □ □ □ 2 0 1 2 【答案】 答案不唯一，如 【解析】 和的数字和为5，根据“进位减9”，所有加数的数字和被9除也应余5，故未用数字为4，进位次数为．易知千位为1，简单试验可得其中一个答案为． 6、从1至9中选出8个数字填入算式“”的方框中，每个数字恰好填一次，使等式成立．请问： （1）没有被选出的数字是多少？ （2）两个四位数中较大的数最小是多少？最大是多少？ 【答案】 （1）2（2）最小7184，最大9865 【解析】 （1）不妨设（）为一种合适的填法，到是1到9中的8个不同数字，没用上的数字为．在加法的计算过程中，左边的数字和与右边的数字和的差是9的倍数，所以到这8个数字的和数与除以9的余数相同．到的数字和等于，25除以9的余数是7．所以除以9余7，只能是2； （2）要使较大数尽量大，令，，看看有没有合适的填法．此时只能是9，只能是7，只能是15，只能是12．所以，，最大是6，相应的是1，最大是5，只能是4．所以较大数最大是9865，相应的填法是； 要使较大数尽量小，令，，看看有没有合适的填法．由于等式左边数字和是43，右边数字和是25，差是18，说明加法运算中有两次进位．此时与都是没有进位的，因而，，．要使较大数尽量小，只能，，，，，．所以较大数最小是，相应的填法是． 7、在图中的算式中填入0至9各一次，使算式成立．算式结果的四位数最小可能是多少，最大可能是多少？ 【答案】 最小1026；最大1602 【解析】 设原竖式为，则，因为除以9的余数等于除以9的余数，是0，所以是9的倍数，所以的数字和是9的倍数，可以是9或18． （1） 因为g只能为1，所以有2种可能：和．最小可能是1026，最大可能是1620，下面看能否凑出相应答案． 因为，所以最小确实为1026． 在中，因为加数数字和为36，和的数字和为9，所以个位、十位、百位相加时均有进位，所以，，．而15只能由7和8凑出，但此时十位的11无法由3、4、5、9凑出，所以1620凑不出． 那么最大值只能为1602，而它可以由凑出，所以最大为1602． （2） 因为g为1，且加数数字和为27，所以相加时进位一次，且在百位，如右图． 此时0不能在加数的个位和十位，不然会有数字相同，同时也不能在加数的百位，那么它只能在四位数中，且只能在百位（如果在十位或个位，那么加数相加要进位，但原式中只有百位相加进位）． 于是，i、j只能为8、9，此时和可以是1089或1098，都比上面的答案小． 所以最大为1602，最小为1026． 1 1 3、 数阵图 8、将1~10这十个自然数填入下图五角星的10个圆圈内，使得外面五个三角形中的数等于其所在三角形三个顶点内数的和． 【答案】 如下图 【解析】 里面5个数之和为，只能为．这样，最上方只能填5或7．若为7，左侧三角之和最多为，矛盾，故最上方只能为5，进而得到答案． 9、图中有大、中、小3个正方形，组成了8个三角形．现在先把1，2，3，4分别填在大正方形的4个顶点上，再把1，2，3，4分别填在中正方形的4个顶点上，最后把1，2，3，4分别填在小正方形的4个顶点上．请问： （1）能否使8个三角形顶点上数字之和都相等？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． （2）能否使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请给出填数方法；如果不能，请说明理由． 【答案】 （1）不能，8个三角形顶点上数字的和为60，且相等，不成立（2）能，填法见解析 【解析】 （1）解答：8个和数相加，相当于24个数相加，恰好把大正方形的每个顶点加了一次，中正方形的每个顶点加了3次，小正方形的每个顶点加了