【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第07讲 计数综合三 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第7讲 计数综合三 六年级 秋季 知识点 1、 计数综合提高下（六上） 备注 课堂例题 1、 复习巩固 1、满足下面性质的三位数称为“红数”：它的个位比十位大，十位比百位大，并且任意相邻两位数字的差都不超过3．例如246、367是“红数”，但278就不是“红数”．请问：一共有多少个“红数”？[来源:Zxxk.Com] 【答案】 45 【解析】 按十位数字分类枚举．十位取2、8的红数各有个，取3、7的红数各有个，取4、5、6的红数各有个，因此共个． 2、下图由5部分组成，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？ 【答案】 324 【解析】 从A开始依次染色即可，共种． 3、0、1、6、8、9颠倒过来后分别为0、1、9、8、6，而2、3、4、5、7颠倒过来不是一个数字，如果一个自然数颠倒过来看等于它本身，则称其为“混沌数”，如69、101、8118等，那么六位数中有多少个“混沌数”？ 【答案】 100 【解析】 前三位分别有4、5、5种选法，此时后三位随之确定，故有个． 4、（1）3个相同的白球和7个相同的黑球排成一排，要求每2个白球之间至少有2个黑球，共有多少种排列方法？ （2）3个相同的白球和7个相同的黑球排成一圈，要求每2个白球之间至少有2个黑球，共有多少种排列方法？（旋转或翻转后相同算同一种） [来源:学科网] 【答案】 （1）20（2）1 【解析】 （1）等价于3个相同的白球和5个相同的黑球排成一排，要求每2个白球之间至少有1个黑球．根据插空法，有种． （2）先把3白6黑按要求排好，再把另一个黑球放入，显然只有1种． 2、 增量分析 5、（2013年北大附入学）利用上题的思路思考并解决下面两个问题： （1）六条直线，最多把平面划分为多少块？详细描述你的思路和理由． （2）n（n是大于6的自然数）条直线最多把平面划分为多少块？直接写出你的猜想． 【答案】 22； 【解析】 （1）第n条直线与前条直线最多有个交点，故其最多被分成n段。每段使原来平面的一部分一分为二，即可增加n部分。开始时平面只有一部分，故n条直线最多将平面分成部分。当时，共部分。 （2）见第（1）问。 6、（1）在一个平面上画出6个正方形，最多可以把平面分成几个部分？ （2）在一个平面上画出3个三角形、2个圆、1条直线，最多可以把平面分成几个部分？ 【答案】 （1）122（2）68 【解析】 （1）第1个正方形将平面分为2部分，第2个正方形与第1个最多有8个交点，即被分为8段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加8部分．同理，第个正方形与之前的n个正方形最多有个交点，将使平面增加部分．因此，6个正方形最多可以把平面分成部分． （2）第1个三角形将平面分为2部分，第2个三角形与第1个三角形最多有6个交点，即被分为6段，每段使原来的1部分一分为二，即可增加6部分，同理第3个三角形使平面增加个部分，至此共部分；每个圆与1个三角形最多有6个交点，两圆间还可有2个交点，故画完圆可再增加部分；直线与之前的5个图形最多有10个交点，故还能增加10部分．综上，共部分． 3、 递推计数 7、一个楼梯共有12级台阶，规定每步可以迈二级台阶或三级台阶．走完这12级台阶，共有多少种不同的走法？ 【答案】 12 【解析】 假设有2级台阶，则有1种走法；假设有3级台阶，则有1种走法；假设有4级台阶，则有1种走法；假设有5级台阶，则有种走法；假设有6级台阶，则有种走法……以此类推，可得如下图所示结果．所以，走完这12级台阶，共有12种不同的走法． 台阶数 2级 3级 4级 5级 6级 7级 8级 9级 10级 11级 12级 方法数 1 1 1 2 2 3 4 5 7 9 12 8、如图，一个长方形被分成7部分，现在将每一部分染上红、黄、蓝、绿四种颜色之一，要求相邻两部分的颜色不同，共有多少种染色方法？ 【答案】 120 【解析】 先不考虑左下角那部分，其余6部分可看作5等分圆环染色问题．圆环中心有4种选法，之后根据传球法，周边5块有10种选法，最后左下角有3种．因此，共种． 4、 旋转、翻转相关问题 9、把一条木棍均匀五等分，然后用5种颜色给这5部分染色，要求相邻的部分不能同色，那么一共有多少种不同的染色方法？（旋转或翻转后相同算同一种） 【答案】 680 [来源:学&科&网] 【解析】 不考虑旋转和翻转时，共种，其中除对称的种情况外，其余只有一半是有效的，故染色方法应有种． 10、给一个正四面体的4个面染色，每个面只允许用一种颜色，且4个面的颜色互不相同．现有5种颜色可选，共有__________种不同的染色方式．（旋转后是一样的染色情况算是同一种方式） 【答案】 10种 【解析】 从5种颜色中选4种颜色，有种方法．由于正四面体