【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第03讲 约数与倍数综合 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第3讲 约数与倍数综合 六年级 秋季 知识点 1、 数论综合提高二（六上） 备注 课堂例题 1、 约数个数相关问题 1、一个数有15个约数，这个数最小是多少？次小是多少？ 【答案】 144；324 【解析】 ，故其形式为或，其中a、b为不同的质数．显然更小，其中最小为，次小为． 2、在35的倍数中，恰有35个约数的最小数是多少？（请写出质因数分解式） 【答案】 【解析】 ，故此时分解质因数必含5和7．，显然只有和满足要求，前者更小． 3、三个自然数乘积为86400，且这三个数的约数个数分别为8、9、10．那么这三个自然数分别是多少？ 【答案】 30、36、80 【解析】 ，，，．易知约数个数为9的其形式为，约数个数为10的其形式为，约数个数为8的其形式为或．经试验，只有30、36、80满足要求． 2、 完全平方数 4、庆祝高思学校4周岁的生日，预计在12月5日高思成立日的当天举行大型的庆祝活动，由编号1~100的100名高思小明星们组成的方阵，开始都面朝东方站立，第一次所有编号是1的倍数的小朋友向左转，第二次所有编号是2的倍数的小朋友再向左转，第三次所有编号是3的倍数的小朋友再向左转，……，最后一次所有编号是100的倍数的小朋友再向左转，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 【答案】 5 【解析】 转的次数即为其编号的约数个数．最终朝南方的小朋友转了次，故这些号的约数个数为为奇数，即均为平方数，且约数个数为3、7、11、……又因为编号不超过100，故类型只可能为或（其中a为质数），即4、9、25、49、64，共5名． 5、（龙校六年级秋季）1到2011这2011个自然数中，有多少个数约数个数为奇数？ 【答案】 44 【解析】 一个数有奇数个约数当且仅当其为完全平方数．，故1到2011中有44个数的约数个数为奇数． 6、两数乘积为2800，而且已知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1．那么这两个数分别是？ 【答案】 16、175 【解析】 任何一个正整数，其约数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个约数；但正整数是完全平方数时，就会有奇数个约数；先把2800分解质因数，找出属于完全平方数的约数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案．根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的约数个数比另一个数的约数多1，这表明：这两个数中有一个是完全平方数；由于：，其属于完全平方数的约数有五个：4、16、25、100、400分别进行分析：，各有3个和16个约数，不符合题意，，各有2个和15个约数，不符合题意，2008=16×175，各有5个和6个约数，符合题意，，各有3个和10个约数，不符合题意，，各有6个和9个约数，不符合题意．故答案为：16，175． 3、 最大公约数与最小公倍数反求 7、两个整数的差为7，它们的最小公倍数和最大公约数的差是689，则这两个数分别是多少？ 【答案】 23和30 【解析】 设两数为m、n，则，且，故，．，易知23与30即满足要求． 8、M，N是互为反序的两个三位数，且．请问： （1）如果M和N的最大公约数是7，求M； （2）如果M和N的最大公约数是21，求M． 【答案】 （1）952（2）861[来源:学*科*网] 【解析】 （1）设这两个三位数分别为、（），那么，所以或，经枚举验证只有时符合最大公约数是7． （2）设这两个三位数分别为、（），那么，所以或，经枚举验证只有时符合最大公约数是21． 9、已知a与b的最大公约数是14，a与c的最小公倍数是350，b与c的最小公倍数也是350．满足上述条件的正整数a，b，c共有多少组？ 【答案】 20组 【解析】 根据题目条件，a可以表示为，b可以表示为，其中x和y至少有一个为0，当x为0时，y可以取0，1和2．当y为0时，x可以取0，1和2．共有5种情况．c可以表示为， 其中u可以取0或1，v可以取0或1，共计4种情况．由乘法原理，a，b，c共有组． 4、 公约数公倍数应用题 10、（龙校四年级春季）夜里下了一场大雪，早上，小龙和爸爸一起步测花园里一条环形小路的长度，他们从同一点同向行走．小龙每步长54厘米，爸爸每步长72厘米，两人各走完一圈后又都回到出发点，这时雪地上只留下60个脚印．那么这条小路长多少米？ 【答案】 21.6 【解析】 由于两人各走完一圈后又都回到出发点，故一圈的总厘米数为的倍数．若为216厘米，应留下个脚印．，故长度为216厘米的10倍，为． 11、学校开运动会，在400米环形操场边上每隔16米插一杆彩旗，共插了25杆．后来又增加了一些彩旗，就把彩旗的间隔缩短了，起点的彩旗不动，重新插完后发现，一共有5杆彩旗没动．问：现在彩旗的间隔是多少米？ 【答案】 5或10 【解析】 没动的彩旗相邻间隔为，故新