【教培专用】六年级上册秋季数学奥数培优讲义-第02讲 整除问题综合 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第2讲 整除问题综合 六年级 秋季 知识点 1、 数论综合提高一（六上） 1、整除   （1）整除定义：        如果整数a除以整数b（b不等于0），除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a．   （2） 特殊数的整除特征        （a）尾数判断法             能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除；             能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除；             能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．        （b）截断求和法             能被9、99、999及其约数整除的数的特征．        （c）截断求差法             能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．        （d）分解判定法             一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互质的整数，分别验证整除性．          特别地：7×11×13=1001，abcabc=abc×1001   （3）常用整除性质        性质1：如果c|a，c|b，那么c|(a+b)、c|(a-b)．        性质2：如果bc|a，那么b|a，c|a．        性质3：如果b|a，c|a，且（b，c）=1那么bc|a．        性质4：如果c|b，b|a，那么c|a．   （4）整除的一些基本方法       （a）分解法            分解得到的数有整除特性．            两两互质．       （b）数字谜法            被除数的末位已知            除数变为乘法数字谜的第一个乘数．       （c）试除法            除数比较大．            被除数的首位已知．       （d）同除法            被除数与除数同时除以相同的数．[来源:学*科*网]            简化后的除数有整除特征． 2、质数合数   （1）质数与合数的定义        质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其他数整除的数．   （2）分解质因数        分解质因数是把一个数写成质因数相乘的形式． 典型题型 1、整除   （1）基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字．       （a）9的考点：乱切法；       （b）11的考点：            奇位和减偶位和；            两位截断求和；            三位截断，奇段和减偶段和．   （2）整除的性质和使用；   （3） 整除与位值原理   （4）整除方法在数字迷中的应用 2、质数合数   （1）质数合数填数字：注意2和5的特殊性；   （2）判断大数是否为质数：逐一试除法；   （3）末尾0的个数问题：层除法． 备注 本讲主要包括与整除、分解质因数相关的内容，需要熟练掌握所有相关知识点，大部分题型之前已经接触过．一些题目可能涉及多个知识点，或者利用代数式、方程求解． 课堂例题 1、 整除性判断 1、（1）五位数没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？ （2）如果六位数能被624整除，则三个方格中的数是多少？ （3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？ 【答案】 （1）30675、38625或39675（2）504（3）26999 【解析】 （1），故某两位为25的倍数，原数只能为或．再结合数字和为3的倍数且无重复数字，进而得到五位数为38625、30675或39675． （2），故末三位与120的和为624的倍数，只能为． （3）将问题转化为乘法竖式形式的数字谜：，解得最小为． 2、（龙校六年级秋季）将自然数1、2、3、…、N依次写下去组成一个数“12345678910111213…”，该数恰好能被36整数，N最小是________，如果N小于200，共有_______种这样的情况． 【答案】 10 【解析】 ．由4和9的整除特征，时均不满足要求．故，化简得或，即或，最小值为，在2015内共10个． 2、 最值问题 3、一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？ 【答案】 13806；94365 【解析】 前三位满足被23整除且各位数字互不相同的最小、最大三位数分别是138、943，易知13806即为最小数，94365即为最大数． 4、（龙校五年级春季）六位数中各位数字互不相同，它能被11整除，那么这样的六位数最小是多少？ 【答案】