【教培专用】五升六暑期数学奥数培优讲义-第09讲 几何综合问题 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第9讲 几何综合问题 五升六 暑期 知识点 1、 几何综合（六上） 1、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．    （1）圆与直角三角形中利用勾股定理．    （2）同底三角形利用“公共底×高的和÷2”求面积和，“公共底×高的差÷2”求面积差．    （3）不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系． 2、辅助线与几何变换   （1）通过割、补，将图形变为规则图形，以便于分析．   （2） 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解． 3、图形运动    能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积． 备注 课堂例题 [来源:学.科.网] 1、 曲线形计算 1、图中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（取3.14） O B D C A 【答案】 157平方厘米 【解析】 记大圆半径为R，小圆半径为r，那么圆环的面积为，只要能够求出即可． 阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于，所以． 由此可得圆环面积等于． 2、如图所示，一块半径为2厘米的圆板，从位置①起始，依次沿线段AB，BC，CD滚到位置②．如果AB，BC，CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米？（取3.14，答案保留两位小数．） A C 2 1 120 B D 【答案】 228.07平方厘米 【解析】 小圆滚动时所经过的区域如下图所示． A C 120 B D E F G H I J K L M N O Q P 半圆FEQ、半圆JKL的面积之和是；长方形FGBQ、BHIP、IJLM的面积之和是；60°的扇形BGH的面积为；PIMNO部分的面积为． 所以总面积为． 2、 直线型计算 3、如图，在长方形ABCD中，厘米，厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD．求PQ与PR的长度之和． C A Q B D P R O 【答案】 24厘米[来源:学科网ZXXK] 【解析】 利用勾股定理可得厘米，所以厘米． 长方形ABCD的面积等于平方厘米，所以△BOC的面积等于平方厘米． C A Q B D P R O 连接OP，观察△OPB与△OPC，它们分别以OB和OC为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR和PQ，因此面积和就等于 ，而这个面积和就是△BOC的面积，等于300，所以．由此可得厘米． 4、如图所示，P为长方形ABCD内的一点．三角形PAB的面积为5，三角形PBC的面积为13．请问：三角形PBD的面积是多少？ B C A P D [来源:Z+xx+k.Com] 【答案】 8 【解析】 图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半． [来源:学§科§网Z§X§X§K]B C A P D B C A D 8 S2 S3 S1 图1 图2 两个阴影部分有一块公共部分，那就是△APD．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有．由题意，，，所以． 5、如图，，且，，，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？ 【答案】 14 [来源:学。科。网] 【解析】 延长AC、BD交于F点．由可知为等边三角形，故，进而，．根据鸟头模型，，故．因此，． 6、如图，一个六边形的6个内角都是120，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米．求这个六边形的周长． 1 9 9 5 【答案】 42厘米 【解析】 为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米． [来源:学_科_网]9 1 9 5 9 9 1 a b a a 1 如上图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为厘米．这样，而． 六边形边长就等于厘米． 7、如图，大正六边形被分割成6个梯形和一个小正六边形．其中几块图形的面积已经标出，则大正六边形的面积是多少？ 【答案】 130 【解析】 每个梯形上下底均相等，而上下、左上右下、左下右上这三对梯形的两个高之和也相等，故面积和均相等，为，大正六边形的面积是． 8、如图，在四边形ABCD中，，，，且，．请问：四边形ABCD的面积是多少？ A B C D 【答案】 936 [来源:学科网] 【解析】 如图所示，可以将图形中的△BCD左右翻转一下，变成了△BED，这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如与就都是直角． 接着连结AE，△ABE与△ADE都是直角三角形，AE是它们公共的斜边． 根据勾股定理，，由此可得．这样就可以分别求解△ABE与△ADE这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为． 30 48 14 ？ A B E D 9、如图